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Fonte: Shutterstock.

Áudio disponível no material digital.

Convite ao estudo

Caro aluno
Nesta unidade, começaremos a aprofundar um pouco mais o conteúdo de Probabilidade e Estatística para Análise de Dados. Você perceberá que diversos conceitos abordados de forma superficial anteriormente serão contemplados de modo mais detalhado, permitindo desenvolver um conhecimento cada vez mais sólido sobre o assunto. Esta unidade, denominada Amostragem e distribuição de dados, está estruturada em três aulas: 1. Amostragem; 2. Distribuição de dados; e 3. Análise de distribuição de dados em R.
Na primeira seção ou aula, retomaremos as discussões relacionadas à amostragem, porém com maior profundidade do que aquela observada na segunda seção da Unidade 1. Discutiremos acerca dos conceitos de amostragem aleatória simples, seleção aleatória, tamanho e qualidade da amostra, além da distribuição de amostragem, que nos permitirá entender um pouco mais sobre o Teorema do Limite Central.
Na segunda seção ou aula, discutiremos os principais tipos de distribuição, bem como suas distinções entre si, de modo a entender de que forma esses conceitos são aplicados no dia a dia. Além dos tipos de distribuição, trabalharemos também algumas questões relacionadas a dois tipos importantes de funções: a de distribuição de dados e a de densidade de probabilidade.
Por fim, na seção 3, além de trabalharmos alguns aspectos teóricos primordiais, como erros e intervalos de confiança, reamostragem e análise dos tipos de distribuição, aplicaremos os tópicos discutidos em exercícios com o R, o que nos permitirá fixar a teoria por meio da atividade prática.
Os conceitos apresentados nesta unidade são de grande relevância para a análise de dados, principalmente quando falamos de análises que envolvem maior complexidade. Compreendê-los, portanto, é de suma importância, não só para esta disciplina, mas também para as demais do curso.
Uma excelente unidade!

Praticar para aprender

Caro aluno
Na segunda seção da Unidade 1, trabalhamos alguns conceitos iniciais de amostragem, apresentando, de forma introdutória, a importância em obter uma amostra representativa de uma população, principalmente quando estamos diante de grandes conjuntos de dados.
Nesta seção, exploraremos um pouco mais este conteúdo, de modo a nos tornarmos aptos a proceder com alguns métodos de amostragem. Para tanto, iniciaremos retomando brevemente a importância da amostragem, partindo para os conceitos de amostragem aleatória simples, seleção aleatória, tamanho e qualidade da amostra e distribuição amostral, com os quais discutiremos a respeito do Teorema do Limite Central.
A amostragem é importante em diversos contextos. Se você trabalha em uma empresa de grande porte e deseja identificar alguma característica de seus funcionários, por exemplo, não é necessário entrevistá-los integralmente. Além de desnecessário, seria inviável operacionalmente. Se estamos considerando uma empresa de 20, 30 ou até 100 funcionários, tudo bem. Mas já parou para pensar no contexto de empresas com 1.000, 10.000 e 30.000 funcionários? Entrevistar cada um deles já não parece ser a melhor alternativa.
É nesse contexto que se insere a amostragem. Com base na população de um conjunto de dados, iremos obter uma amostra representativa, suficiente para entendermos, com uma margem de erro associada, qual é o comportamento daquela população.
Imagine, por exemplo, realizar uma pesquisa com 20.000 pessoas, sendo que a mesma pesquisa, com somente 400 delas poderia trazer resultados semelhantes. Essa é a ideia por trás da amostragem, uma importante ferramenta que nos permite economizar tempo, esforço e custo.
Nesse sentido, para que se tenha um completo entendimento dos tópicos abordados na seção, é fortemente recomendado, além da leitura completa do conteúdo, que se realizem as situações-problema e as questões, como forma de exercitar e fixar o conteúdo abordado. Explore todos os recursos disponibilizados.
Caro aluno, a atividade de análise de dados apresenta diversos desafios em seu dia a dia, o que a faz ainda mais interessante. Frequentemente, deparamo-nos com situações que nos tiram de uma zona de conforto e nos levam a buscar formas de resolver problemas. Algo comum, por exemplo, é a limitação operacional em situações que envolvem populações com muitas observações. Como proceder uma análise de dados de uma empresa com 20.000, 30.000 ou até 100.000 funcionários? Ou, então, como realizar uma pesquisa eleitoral que indique as intenções de voto dos habitantes de um país? É preciso entrevistar cada um deles para que se obtenha um número representativo? A resposta é não! E é nesse sentido que se encaixa o importante conceito na análise de dados: a amostragem.
Outro tópico de grande relevância na análise de dados é análise de distribuição. O que faz, por exemplo, um conjunto de dados possuir um comportamento semelhante a um sino, na denominada distribuição normal? Ou, em que contexto utilizamos uma distribuição t de Student? A compreensão desses conceitos é fundamental para que se avance em análises ainda mais interessantes, como o cálculo dos intervalos de confiança, a comparação estatística de médias, entre outras. Dessa forma, dominar tanto o processo de amostragem, quanto a análise de distribuição é de suma importância para a resolução de problemas práticos da atividade de análise de dados.
Você é analista de dados de uma empresa e está oferecendo um suporte para a área de inteligência de negócios, que realizará uma pesquisa de mercado com os clientes registrados nas carteiras de cinco estados distintos. A relação dos clientes está registrada na Tabela 3.1:

Tabela 3.1 | Total de clientes por estado

Estado	Total de Clientes
SP RJ MG PR BA	12.350 6.345 7.120 5.145 8.920
Total	39.880

Fonte: elaborada pelo autor. Dados fictícios.

A ideia é avaliar a satisfação média da população em cada estado. Você deverá simular o tamanho amostral mínimo necessário para que o total de clientes entrevistados representem o comportamento geral em cada estado. Faça duas simulações, uma com uma margem de erro de 5% e outra de 10%. Utilize um nível de confiança de 95%.

conceito-chave

Na primeira unidade deste livro, foi discutido brevemente sobre três importantes conceitos para a análise: amostra, amostragem e população.
A amostragem é um processo criterioso que deve considerar uma série de requisitos para que seja bem-sucedido. Suponha, por exemplo, que uma empresa da área do ramo alimentício deseja obter algumas informações a respeito dos hábitos alimentares dos brasileiros. Para tanto, a organização, localizada no estado do Paraná, realizou um levantamento com uma amostra da população, considerando, no entanto, somente indivíduos paranaenses. Claramente, neste caso, a amostra selecionada pela empresa não será representativa de toda a população brasileira, ao passo que estamos com um público residente no estado do Paraná. Neste caso, existe um viés de seleção, ou seja, os hábitos alimentares paranaenses estão sendo beneficiados devido à seleção realizada pela empresa.
Situações como essas, por mais que claramente equivocadas, ocorrem com frequência em diversos contextos. Por essa razão, é fundamental estarmos bem amparados conceitualmente para que o trabalho não abra brechas para oferecer informações inconsistentes a respeito de determinado comportamento de interesse.
De modo geral, quando se fala em amostragem, é preciso ter claro que existem dois grandes grupos: a probabilística e a não-probabilística. A amostragem probabilística é uma situação na qual todas as unidades amostrais possuem a mesma chance de serem sorteadas, sendo a Amostragem Aleatória Simples (AAS) um dos métodos mais utilizados. Por outro lado, a amostragem não-probabilística geralmente está associada a situações em que o responsável pode interferir diretamente na seleção das observações. Os tipos mais comuns de amostragem não-probabilística são: amostragem por conveniência, amostragem por cotas, amostragem consecutiva e amostragem por julgamento.
Nesta aula, o foco é à amostragem aleatória simples (AAS), possivelmente o método mais utilizado, tanto no mercado quanto na área acadêmica. A AAS opera em um processo semelhante a um sorteio. Para tanto, após o conhecimento de todos os elementos populacionais, é associado um número ou outra característica única e individual, realizando um sorteio com base nesses critérios estabelecidos. Se o Governo Federal desejasse, por exemplo, realizar uma AAS dos indivíduos do país, um bom índice para sorteio seria o respectivo número de documento, como o Cadastro de Pessoa Física (CPF) ou o Registro Geral (RG).
Existem dois tipos gerais de AAS: com reposição e sem reposição (BUSSAB; MORETTIN, 2010). Na amostragem com reposição, é possível sortear uma mesma pessoa mais de uma vez, o que pode não ser interessante, a depender do interesse por trás da amostragem. Basicamente, após selecionada como unidade amostral, o indivíduo retorna ao sorteio, podendo ser amostrado novamente. Por outro lado, quando diante de uma amostragem sem repetição, cada indivíduo, uma vez sorteado, não poderá ser incluído na amostra novamente.
Suponha, por exemplo, que se deseja fazer um estudo sobre o estado de humor dos colaboradores de uma empresa ao longo de cinco dias. Existem diversos caminhos metodológicos a serem seguidos, mas serão apresentados somente dois: no primeiro deles, a empresa sorteia, a cada dia, um conjunto de 30 funcionários, com reposição, o que possivelmente traria cinco grupos distintos, mas não impediria que um mesmo colaborador sorteado na segunda-feira também pudesse compor o estudo em algum outro dia. No segundo, a empresa também sorteia 30 colaboradores a cada dia, mas sem reposição. Essa estratégia impediria que um mesmo colaborador sorteado compusesse novamente as amostras de estudo dos outros dias.
Nesse sentido, a Amostragem Aleatória Simples não envolve conceitos complexos. De modo geral, a ideia é obter, por meio da seleção aleatória, um conjunto de dados amostrais que representem uma população geral.
Existem diversas formas de se obter uma seleção aleatória. A tradicional brincadeira de amigo secreto, geralmente realizada nas festividades de final de ano, é um exemplo que, apesar de simples, reflete o conceito de seleção aleatória. Os nomes dos participantes são escritos em um papel e sorteados aleatoriamente por cada um dos integrantes da brincadeira. Esse, inclusive, foi um método de seleção aleatória bastante utilizado nos séculos passados, mas que, graças aos avanços tecnológicos da informática, passou a ser pouco empregado.
Nesse sentido, com o auxílio da informática, é possível realizar processos aleatórios, tanto com reposição, quanto sem reposição, por meio de softwares e programas, como o Excel, Python, R, entre outros. Com esses processos relativamente automatizados, ganha-se em tempo e em redução de erros e vieses.

Assimile

Em Estatística e Probabilidade, dois importantes conceitos, frequentemente confundidos, são a margem de erro e a margem (ou nível) de confiança. Para facilitar o entendimento, pense em uma pesquisa eleitoral. Quando se diz que determinado candidato possui 40% das intenções de voto, com margem de 5% para baixo ou 5% para cima, estamos falando da margem de erro. Por outro lado, a margem de confiança reflete a replicabilidade desse resultado. Portanto, quando é trabalhado, por exemplo, com um nível de confiança de 95%, a ideia é que, se replicássemos a pesquisa 100 vezes, em 95 deles os resultados estariam dentro de uma mesma faixa de valor, denominada intervalo de confiança.

Para auxiliar a fixação do conceito, a Figura 3.1 apresenta um exemplo de amostragem aleatória simples, tanto para o caso com reposição quanto para sem. À esquerda, temos a população do estudo, com um total de quinze observações. Os dados foram submetidos a um processo de amostragem, um com reposição das observações e outro sem. Para ambos, foram selecionadas amostras com n=7. No caso sem reposição, cada observação pode ser amostrada somente uma vez, ao passo que é “retirada” do universo populacional, após ter sido sorteada. Por outro lado, no caso com reposição, é possível que uma mesma observação seja selecionada para a amostra mais de uma vez, como é o caso da observação n° 15.

Figura 3.1 | Exemplo de amostragem com e sem reposição

No exemplo acima, realizamos uma amostragem com 7 elementos a partir de uma população com 15 observações. Nesse caso, o tamanho amostral foi definido ao acaso, considerando que se trata de um exercício de fixação. No entanto, em um contexto prático, devemos calcular o tamanho amostral utilizando critérios probabilísticos.

Assimile

A distribuição normal, que possui o formato semelhante a um sino, é uma das mais importantes distribuições da Estatística e Probabilidade. Os valores de seus parâmetros, como média e desvio padrão, variam de acordo com o conjunto de dados. Nesse sentido, a Estatística dispõe de uma distribuição normal padronizada, denominada distribuição Z, e que possui média centrada 0 e desvio padrão equivalente a 1. Por essa razão, trata-se de uma distribuição utilizada em diversos modelos estatísticos e que permite, por exemplo, trabalhar com ferramentas para obtenção do tamanho amostral. Por se tratar de valores padrão, a distribuição Z possui uma tabela de referência. No entanto, não se preocupe! Traremos mais detalhes a respeito deste conteúdo nas próximas seções.

Nesse sentido, o cálculo do tamanho amostral passa pela estrutura apresentada no Quadro 3.1.

Quadro 3.1 | Fórmulas para cálculo do tamanho amostral

Componente	População infinita	População finita
Variância estimada (geralmente variáveis quantitativas, com possibilidade de se obter o valor da variância)	$n = \frac{σ^{2} \cdot Z_{γ}^{2}}{ε^{2}}$	$n = \frac{N \cdot σ^{2} \cdot Z_{γ}^{2}}{(N - 1) \cdot ε^{2} + σ^{2} \cdot Z_{γ}^{2}}$
Proporção (geralmente variáveis qualitativas)	$n = \frac{p \cdot (1 - p) \cdot Z_{γ}^{2}}{ε^{2}}$	$n = \frac{N \cdot p \cdot (1 - p) \cdot Z_{γ}^{2}}{(N - 1) \cdot ε^{2} + p \cdot (1 - p) \cdot Z_{γ}^{2}}$

Fonte: elaborado pelo autor.

$ε$ refere-se ao erro amostral, ou seja, até qual valor está disposto a aceitar um desvio em relação à população. Quanto maior o erro amostral, menor será o valor de $n$ .
$Z_{γ}$ é obtido através da tabela de Distribuição Normal Padrão, ou somente Distribuição Z. O símbolo $γ$ refere-se à margem de confiança que está sendo utilizada, conceito que também será desenvolvido nas próximas seções. Geralmente, utiliza-se uma margem de 95%. Por meio de uma consulta na tabela Z, é possível obter que $Z_{0,95} = 1,96$ .
$N$ equivale ao tamanho populacional.
O termo $σ^{2}$ refere-se à variância populacional. No entanto, dificilmente possui a variância populacional disponível. Nesse caso, há duas saídas: obter uma aproximação de um estudo prévio ou utilizar o valor da proporção $p$ .
$p$ equivale à proporção de prevalência de determinada característica de interesse. Geralmente é utilizada quando desconhecemos $σ^{2}$ .

Assimile

Um conceito importante no estudo populacional é a finitude. De modo geral, uma população, do ponto de vista estatístico, pode ser finita ou infinita. Segundo Castanheira (2005), uma população finita é aquela que possui limites facilmente definidos, como, por exemplo, a população residente no Estado de São Paulo em determinado ano, ou o total de colaboradores contratados por uma empresa em um mês. Por outro lado, a população infinita é aquela que não possui parâmetros limitantes bem definidos, impossibilitando que se obtenha facilmente o tamanho populacional. É o caso, por exemplo, do número de clientes em um supermercado em um período indeterminado. Ou, então, o número de estrelas do universo.

Por mais que as fórmulas apresentadas pareçam complexas, o mais crucial é entendermos em quais contextos devemos utilizá-las, o que varia em relação ao tipo da população e a disponibilidade da variância amostral. Na maioria dos casos, trabalhamos com populações finitas e com proporções, ao passo que obter a variância populacional geralmente é algo inviável, e as variáveis precisam ser quantitativas. Para melhor compreendermos as aplicações de cada uma das fórmulas, apresentamos os quatro exemplos a seguir.

População Infinita – Variância populacional conhecida

Uma empresa de telemarketing está avaliando o tempo de ligações realizadas por seus colaboradores. No entanto, sem especificar um período de análise, a companhia deseja saber quantas ligações devem ser analisadas para se obter uma margem de erro amostral equivalente a 30% e uma margem de confiança de 95%. Segundo informado por um órgão externo regulador do setor, as ligações realizadas pelos colaboradores, considerando todas as empresas cadastradas, duram, em média, 20 minutos, com um desvio-padrão de 14. Como parâmetro, a empresa utilizou esse valor para o cálculo do tamanho amostral. Considerando o contexto apresentado, tem-se uma situação de população infinita, ao passo que não foi definido um intervalo de tempo específico, e uma variância populacional aproximada, oriunda de informação externa. Assim, o cálculo do tamanho amostral é dado por:
$n = \frac{σ^{2} \cdot Z_{γ}^{2}}{ε^{2}} = \frac{25 \cdot {(1,96)}^{2}}{30 %^{2}} = \frac{14 \cdot 3,8416}{0,09} ≅ 598$
Nesse sentido, por se tratar de uma amostra infinita e considerando as margens de erro e confiança apresentadas, a empresa deveria analisar 598 ligações para obter uma amostra representativa. Apesar de conceitualmente definida, amostragens com populações infinitas não são tão comuns.

População Infinita - Proporção

Uma empresa localizada no bairro de Pinheiros, na cidade de São Paulo, deseja avaliar a proporção de clientes vindos do bairro Butantã, localizado do outro lado do Rio Pinheiros. Considerando uma margem de erro de 10% e uma margem de confiança de 95%, a empresa deseja saber a quantidade de clientes que deverá entrevistar para obter informações representativas. Não se sabe ao certo qual é o comportamento da proporção amostral. Desse modo, foi utilizada a aproximação de . Assim, o cálculo do tamanho amostral é dado por:
$n = \frac{p \cdot (1 - p) \cdot Z_{γ}^{2}}{ε^{2}} = \frac{0,5 \cdot (1 - 0,5) \cdot {1,96}^{2}}{10 %^{2}} = \frac{0,5 \cdot 0,5 \cdot {1,96}^{2}}{0,1 \cdot 0,1} = \frac{0,25 \cdot 3,8416}{0,01} ≅ 96$
Considerando o cenário apresentado pela empresa, serão necessárias 96 entrevistas para se obter uma amostra representativa. Lembrando que, para tanto, deve-se proceder de forma aleatória a escolha dos indivíduos para a amostragem.

Reflita

Na prática, situações de cálculo com populações infinitas não são tão comuns, ao passo que normalmente se trabalha com aspectos populacionais bem definidos, considerando um período específico ou outra característica que delimite a população de estudo. No seu dia a dia, você se recorda de alguma possível situação com população infinita? Em caso positivo, como delimitar esse conjunto de modo a conferir finitude à população?

População Finita – Variância populacional conhecida

Uma consultoria da área de dados criou um software de gestão que, atualmente, é utilizado por 1.350 empresas. Por meio de uma amostra de teste, a consultoria obteve que a média de faturamento é de R$ 118 mil, com uma variância de 15. Nesse sentido, para realizar um estudo de todas as empresas clientes, a consultoria estabeleceu uma margem de erro de 20% e uma margem de confiança de 95%, desejando, a partir disso, obter um tamanho amostral que seja representativo da população. Para tanto, é comum utilizar a variância da amostra de teste como uma aproximação para a amostra populacional. Assim, tem-se que o cálculo do tamanho amostral é dado por:
$n = \frac{N \cdot σ^{2} \cdot Z_{γ}^{2}}{(N - 1) \cdot ε^{2} + σ^{2} \cdot Z_{γ}^{2}} = \frac{1.350 \cdot 15 \cdot {1,96}^{2}}{(1.350 - 1) \cdot 30 %^{2} + 15 \cdot {1,96}^{2}} = \frac{77.792,40}{179,03} = 435$

População Finita - Proporção

Em outra situação, uma empresa da área de computadores deseja avaliar quais são as marcas de processadores utilizadas pelos brasileiros: processador A ou processador B. No entanto, não se sabe qual é a real proporção das pessoas que utilizam cada um dos processadores, o que fez com que a empresa utilizasse a aproximação de $p = 0,5$ . Estima-se que 105 milhões de brasileiros possuam computadores em suas residências. Portanto, considerando uma margem de erro de 10% e uma margem de confiança de 95%, a empresa estimou um tamanho amostral para que se tenha um valor representativo da população. Considerando a população em questão, o cálculo foi dado por:
$\begin{matrix} n = \frac{N \cdot p \cdot (1 - p) \cdot Z_{γ}^{2}}{(N - 1) \cdot ε^{2} + p \cdot (1 - p) \cdot Z_{γ}^{2}} = \frac{105.000.000 \cdot 50 % \cdot (1 - 50 %) \cdot {(1,96)}^{2}}{104.999.999 \cdot 10 %^{2} + 50 % \cdot (1 - 50 %) \cdot {(1,96)}^{2}} = \\ = \frac{100.842.000}{1.050.001} = 96 \end{matrix}$
Entrevistando aleatoriamente 96 pessoas que possuem computador em casa, a empresa obterá uma amostra representativa da população. Aqui, no entanto, estão sendo desconsiderados diversos outros fatores, como distribuição populacional, percentuais de indivíduos que possuem computadores distintos entre os estados (ex: SP 70%, RJ: 68%, PR: 67%), entre outras.
Os exemplos apresentados permitem diferenciar as situações de cálculo. No geral, utiliza-se com mais frequência a fórmula para obtenção do tamanho amostral com base em proporção e população finita. Geralmente, é atribuído o valor de 0,5 ao parâmetro $p$ .
Em relação à qualidade amostral, alguns itens devem ser levados em consideração. Com base no método que estamos explorando, Amostragem Aleatória Simples, o erro amostral, a margem de confiança e a aleatorização são fatores determinantes na qualidade dos dados. Quanto menor a margem de erro e maior a margem de confiança, maior será a representatividade da amostra em relação à população. No entanto, para que se tenha uma maior confiabilidade e uma menor margem de erro, é comum que o tamanho amostral seja demasiadamente grande, o que pode impedir a viabilidade operacional do estudo em questão. Dessa forma, muitas vezes é desejável trabalhar com uma amostra de maior erro ou menor confiabilidade, mas que seja viável operacionalmente.

Exemplificando

Suponha que você é responsável por desenhar o cálculo do tamanho amostral de uma pesquisa que sua empresa realizará com seus clientes. A população total a ser avaliada é de 5.342 pessoas. O custo de cada entrevista é de R$ 23,00 e sua empresa já deixou claro que o custo total deve ser de no máximo R$ 2.300,00. Ciente disso, você começa a realizar algumas simulações, considerando uma margem de confiança de 95%. Para o cálculo do tamanho amostral sobre a população infinita e proporção desconhecida, em que se utiliza $p = 0,5$ , você realizou uma simulação inicial com margem de erro de 5%.O tamanho amostral necessário para atender as condições propostas seria de 359 clientes, o que implicaria um custo de R$ 8.257. No entanto, para os mesmos parâmetros estabelecidos e uma margem de erro de 10%, o tamanho amostral cairia para 95 entrevistas, gerando um custo de R$ 2.185, valor dentro do limite estabelecido pela empresa. Nesse sentido, devido a uma limitação operacional e financeira, a viabilidade de trabalho está em se utilizar uma margem de erro de 10%, em detrimento de 5%.

No contexto da amostragem, um importante conceito é a distribuição amostral. Suponha que o processo de obtenção de uma amostra seja repetido diversas vezes. Cada uma dessas amostras possuirá uma média, representada por $\bar{X}$ . Para a população, o valor da média é dado por $μ$ . Por mais que busquemos, por meio de uma amostragem, encontrar valores que representem o comportamento populacional, os valores das médias amostrais serão diferentes entre si e distintos do valor da média populacional. Se extrairmos dez amostras de uma população, teremos dez médias amostrais. A média populacional, no entanto, não se altera. O comportamento da distribuição das médias segue o padrão apresentado na Figura 3.2.

Figura 3.2 | Distribuição das médias amostrais e populacional

Dessa forma, notamos que algumas amostras terão uma média abaixo daquela observada para a população, enquanto outras amostras possuem valores acima. Se aumentarmos o número da amostra, perceberemos que os valores tendem cada vez mais para um valor central. Na Figura 3.3, é apresentado um histograma, a partir de uma simulação realizada com auxílio do R. De um conjunto de dados com 10.000 observações, extraímos 1.000 amostras aleatórias, cada uma com 30 observações. Os dados foram simulados com uma média populacional equivalente a 15. Nesse sentido, com o auxílio do histograma, é possível observar que, por mais que algumas médias amostrais tenham ficado próximas a 13, no limite inferior, ou 17, no limite superior, a maior parte das médias concentrou-se nos valores ao redor de 15, ou seja, próximo à média populacional, indicando, novamente, uma tendência a um valor central.

Figura 3.3 | Histograma das Médias Amostrais. Simulação considerando média populacional equivalente a 15, desvio padrão de 3 e n=30.

O mesmo acontece quando trabalhamos com o desvio padrão dos conjuntos de dados. Com base na simulação realizada, o desvio padrão populacional é equivalente a 3. A Figura 3.4 apresenta o histograma dos desvios amostrais. Da mesma forma do observado para as médias, existem desvios padrão relativamente altos, próximos de 4,5, e existem desvios relativamente baixos, em torno de 2. No entanto, a grande massa se concentra ao redor do valor 3 que, como vimos, equivale ao desvio populacional.

Figura 3.4 | Histograma dos Desvios Padrão Amostrais. Simulação considerando média populacional equivalente a 15, desvio padrão de 3 e n=30.

Ao aumentarmos ainda mais os tamanhos amostrais, podemos perceber que, tanto as médias quanto os desvios padrão amostrais, convergem para os respectivos valores populacionais. Na Figura 3.5, foram utilizados dois tamanhos amostrais: um para $n = 30$ , como fizemos anteriormente, e outro para $n = 200$ . Observamos, portanto, que quanto maior o tamanho amostral, maior é a convergência em relação aos valores da média e do desvio padrão.

Figura 3.5 | Histograma das Médias e Desvios Padrão Amostrais. Simulação considerando média populacional equivalente a 15 e desvio padrão de 3. Tamanhos amostrais variantes: $n = 30$ na primeira linha e $n = 200$ na segunda. 1.000 amostras simuladas em cada um dos cenários.

Essas convergências observadas tanto para as médias amostrais, quanto para os desvios padrão nos permitem abordar um importante conceito para a Estatística e Probabilidade: o Teorema do Limite Central (TLC). De modo geral, o TLC enuncia que a média ou soma de variáveis aleatórias e independentes tendem a uma distribuição normal, independente do tipo de distribuição que essas variáveis possuem. E, como vimos nas figuras anteriores, isso faz todo sentido. Assim, supondo um conjunto de dados tal que ${X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}$ represente os valores de amostras. Segundo o Teorema do Limite Central, o valor médio de tende a uma distribuição normal, centrado na média populacional $μ$ e desvio padrão $\frac{σ}{\sqrt{n}}$ . Este comportamento pode ser expresso por:
$X ~ N (μ, σ / \sqrt{n})$
Em que o símbolo representa a palavra “tende” e a letra equivale ao nome “distribuição normal”.
Por essa razão, diversos modelos estatísticos utilizam a distribuição normal como referência básica em suas estruturas. No Material Complementar, simulamos algumas distribuições e observamos como as médias se comportam em cada um dos casos. Você perceberá que, independentemente da distribuição (se é normal, exponencial, binomial, uniforme), o comportamento das médias é bastante semelhante.
Diante do conteúdo exposto, avançamos um pouco mais nos tópicos de amostragem e de distribuição de dados, especialmente a amostral. Discutimos, também, a questão do Teorema do Limite Central, um importante conceito na área de Estatística e Probabilidade. Esta foi uma seção desafiadora e que, certamente, está nos capacitando para avançar ainda mais nos próximos temas.

Faça valer a pena

Questão 1

O levantamento da Confederação Nacional da Indústria (CNI) ouviu 2 mil pessoas entre os dias 5 e 8 de dezembro do ano passado. A margem de erro é de dois pontos percentuais para mais ou para menos. O nível de confiança é de 95% (G1 Economia, 2021).
A respeito do contexto apresentado, assinale a alternativa que apresente corretamente a margem de erro utilizada para o levantamento.

a. 2%.

Correto!

A questão passa pela análise de um contexto prático e a aplicação dos conceitos de margem de erro. Segundo informado pela reportagem, a margem de erro utilizada pela pesquisa foi de 2%, considerando tanto a variação acima, quanto a variação abaixo. É importante destacar que, ainda que a amplitude da margem de erro seja de quatro pontos percentuais, a margem, em si, equivale a 2%.