Autovalores e autovetores

lorem ipsum dolor sit amet

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Nunc dignissim euismod urna tincidunt sagittis. Vivamus id vehicula eros, non scelerisque eros.

Fonte: Shutterstock.

sem medo de errar

Por definição, dados V e W dois espaços vetoriais sobre um corpo F, uma transformação linear de V em W é uma função $T: V\to W$ que satisfaz:
• $T(v_1 + v_2) = T\left(v_1\right) + T\left(v_2\right)$.
• $T\left(\alpha v\right) =\alpha T\left(v\right)$.
Para todo $v_1,v_2 ,v\in V$ e todo escalar $\alpha \in F$. Assim, utilizando as informações do nosso problema, seja $v_1=(x_1,y_1)$ e $v_2=(x_2,y_2)$ pertencentes a ${ℝ}^2$ e $k\in \mathrm{ℝ}$ um escalar. Temos que:
$T(v_1+k{v}_2)=T((x_1,y_1)+k(x_2,y_2))$
Isto é:
$T(x_1+k{x}_2,y_1+k{y}_2)=(x_1+k{x}_2, -y_1-k{y}_2)=(x_1,-y_1)+(k{x}_2,-k{y}_2)$
$=(x_1,-y_1)+k(x_2,-y_2)=T(x_1,y_1)+kT(x_2,y_2)=T\left(v_1\right)+kT\left(v_2\right)$
Ou seja:
$T(v_1+k{v}_2)=T\left(v_1\right)+kT\left(v_2\right)$
Portanto, T é uma transformação linear e traduz uma reflexão em torno do eixo x, isto é, o sistema proposto pelo pesquisador faz sentido por T ser linear e é baseado na reflexão em torno do eixo x.

Avançando na prática

Mecanismos de buscas

Suponha que você tenha sido contratado por uma empresa de computação para implementar um novo mecanismo de busca. Depois de muitas análises, você se baseou no conceito de autovalor para aprimorar o sistema e definir seu mecanismo de busca. Para tal, você associou uma transformação linear, em que a sua matriz é dada por:
$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 2\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$
Para concluir o mecanismo, você precisa saber quais são os autovalores para, futuramente, discutir as questões de diagonalização.