Interpolação

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sem medo de errar

Pensando em como resolver o problema usando o método de Lagrange para determinar o polinômio que interpola os pontos $\left(x_k, y_k\right)=\left\{\right(\mathrm{0,0}),(\mathrm{1,3}),(\mathrm{2,1}),(\mathrm{3,3}),(\mathrm{4,0}\left)\right\}$, você buscou em seus ensinamentos de cálculo numérico, para relembrar, como era feito tal método sem apoio computacional. Assim, depois de muito esforço, você obteve, pelo método de Lagrange, as equações:
${\mathrm{L}}_0\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_2\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_3\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_4)}{\left({\mathrm{x}}_0-{\mathrm{x}}_1\right)\left({\mathrm{x}}_0-{\mathrm{x}}_2\right)\left({\mathrm{x}}_0-{\mathrm{x}}_3\right)({\mathrm{x}}_0-{\mathrm{x}}_4)}=\frac{(\mathrm{x}-1)\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)(\mathrm{x}-4)}{(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)}$
${\mathrm{L}}_1\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_2\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_3\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_4)}{\left({\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_0\right)\left({\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2\right)\left({\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_3\right)({\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_4)}=\frac{(\mathrm{x}-0)\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)(\mathrm{x}-4)}{(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)}$
${\mathrm{L}}_2\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_3\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_4)}{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_0\right)\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_3\right)({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_4)}=\frac{(\mathrm{x}-0)\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-3\right)(\mathrm{x}-4)}{(2-0)(2-1)(2-3)(2-4)}$
${\mathrm{L}}_3\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_2\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_4)}{\left({\mathrm{x}}_3-{\mathrm{x}}_0\right)\left({\mathrm{x}}_3-{\mathrm{x}}_1\right)\left({\mathrm{x}}_3-{\mathrm{x}}_2\right)({\mathrm{x}}_3-{\mathrm{x}}_4)}=\frac{(\mathrm{x}-0)\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-2\right)(\mathrm{x}-4)}{(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)}$
${\mathrm{L}}_4\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_0\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1\right)\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_2\right)(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_3)}{\left({\mathrm{x}}_4-{\mathrm{x}}_0\right)\left({\mathrm{x}}_4-{\mathrm{x}}_1\right)\left({\mathrm{x}}_4-{\mathrm{x}}_2\right)({\mathrm{x}}_4-{\mathrm{x}}_3)}=\frac{(\mathrm{x}-0)\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-2\right)(\mathrm{x}-3)}{(4-0)(4-1)(4-2)(4-3)}$
Após vários cálculos para simplificação, você concluiu que o polinômio interpolador, segundo o método de Lagrange, é dado por:
$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)= {\mathrm{y}}_0{\mathrm{L}}_0\left(\mathrm{x}\right)+ {\mathrm{y}}_1{\mathrm{L}}_1\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{y}}_2{\mathrm{L}}_2\left(\mathrm{x}\right)+ {\mathrm{y}}_3{\mathrm{L}}_3\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{y}}_4{\mathrm{L}}_4\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{3}{4}{\mathrm{x}}^4+6\mathrm{x}³-\frac{61}{4}\mathrm{x}²+13\mathrm{x}$.

sem medo de errar

Poluição sonora

A prefeitura de uma cidade X teve diversos relatos com problemas relacionados à poluição sonora. Você, como um funcionário exemplar, salvou cada reclamação de barulho em um banco de dados contendo a hora do acontecido e o nível de ruído medido pelos equipamentos posicionados estrategicamente após as denúncias. Analisando os dados, você notou que era possível avaliar o comportamento do ruído usando interpolação polinomial e foi aos seus superiores falar sobre a descoberta. No entanto, você usou muitos termos técnicos e eles não entenderam nada sobre o problema. Então, você pensou em maneiras de escrever a informação resumindo a questão da interpolação do polinômio usando o método de Newton, em que apresentaria a tabela das diferenças divididas e o polinômio final. Descreva então como você realizaria essa apresentação sabendo que o polinômio interpolador passa pelos pontos $\left(\mathrm{0,1}\right),\left(\mathrm{0.5,1.649}\right),\left(\mathrm{1,2.718}\right),\left(\mathrm{1.5,4.482}\right),\left(\mathrm{2,7.389}\right)$.