Matrizes

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Convite ao estudo

Caro aluno, quando escutamos o termo “métodos matemáticos”, é natural que o primeiro conceito que vem em nossa cabeça é a relação com a realização de inúmeros cálculos, às vezes até sem-fim. Mas, será que estamos corretos sobre esse conceito? 
Para iniciar seu entendimento sobre os conceitos abordados, trabalharemos com a ideia de matrizes, as quais são, em linguagem popular, tabelas com um gama de dados. As matrizes são objetos matemáticos úteis para organização e manipulação de dados computacionalmente. Após essa ênfase no conceito de matrizes, estudaremos outro conceito que é muito comum, especialmente em modelagem: sistemas lineares. Os sistemas lineares podem ser aplicados em diversas situações, por exemplo, no balanceamento de equações químicas, no cálculo de lucros e dividendos de em empresa, nos problemas de otimização, na resistência de vigas, entre muitas outras aplicações comuns em nosso cotidiano. 
Por fim, encerraremos a unidade com o conceito de autovalores e autovetores, os quais, em geral, são utilizados em problemas de otimização computacional e em aplicações voltadas para a área da física em contexto de mecânica.
Para exemplificar, suponha que você tem que lidar com um problema de construção civil, cujo objetivo é avaliar a resistência das vigas. Para resolver essa questão, você, inicialmente, trabalhará com a experimentação da situação e coletará os dados dela. A partir disso, montará a matriz com os dados. Com a matriz em mãos, por meio de sistemas lineares e operações com matrizes, você poderá validar a sua hipótese sobre a resistência das vigas. Esta, porém, não é a única situação em engenharia que você pode utilizar tais conceitos. Existem muitas outras, como predição de níveis de poluição atmosférica, na engenharia ambiental; concentração de solventes, na engenharia química; relatórios financeiros empresariais, no setor público ou privado; entre muitas outras aplicações. Já se imaginou trabalhando com as matrizes e os sistemas lineares sob essa visão? Para lhe auxiliar, aprenderemos, no decorrer desta unidade, um pouco mais sobre esses objetos. Mãos à obra! 

Praticar para aprender

Nesta seção, entenderemos o conceito de matrizes e determinantes por meio de exemplos práticos e das definições dadas pela matemática em si. Com isso, você compreenderá a importância do papel das matrizes quando se trata de dados dispostos em tabelas e como realizar operações com esses dados.
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar uma experimentação de resistência de vigas de uma construção civil, em que se obteve os valores das componentes das forças para cada uma das realizações do experimento. Os dados foram todos dispostos em tabelas, as quais, por sua vez, podem ser dispostas em matrizes para realização de cálculos, a fim de se atingir o objetivo da pesquisa ou do trabalho, que pode ser, por exemplo, o tempo total gasto para realização do experimento ou a escala das forças consideradas nele. Portanto, o uso de operações utilizando-se o conceito de matriz permite um melhor entendimento e interpretações do experimento em questão.
Vamos criar uma situação hipotética para exemplificar o uso de matrizes no dia a dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas à engenharia.
Imagine que você foi convocado e nomeado para realizar uma verificação do último relatório bimestral de uma empresa de construção civil no ano de 2020 em relação às vendas de cimento e cal. Os dados de venda da empresa são descritos pela matriz:
$V=\left[\begin{array}{l}\text{ 1510 1960}\\ \text{ 1375 2015}\end{array}\right]$
Cada elemento  dessa matriz representa o número de unidades dos produtos do tipo i (i = 1). A representação do cimento (i = 2) e a representação da cal vendidos no mês j (j = 1) representam novembro, e j = 2 representa dezembro. De acordo com as exigências, foi-lhe pedido para verificar as seguintes questões:
1.  Qual produto e em qual mês foi vendido menos sacos? Qual a maior diferença de vendas entre os produtos nos meses correspondentes?
2.  Qual foi a arrecadação bruta da empresa no bimestre com esses dois tipos de produtos, se o pacote de cimento custa R$30,00 e o pacote de cal custa R$50,00? Qual foi a arrecadação bruta de cada mês?
Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o processo. Iniciaremos com os conceitos fundamentais de matrizes, para que você possa entender a relação delas com a disposição de dados em tabelas e como realizar operações. 

conceito-chave

Ao estudar métodos matemáticos, deparamo-nos com diversos conceitos. Nesta seção, abordaremos um conceito usual em muitas áreas do conhecimento, o conceito de matrizes. As matrizes são essenciais para muitos problemas, não apenas porque elas “ordenam e simplificam” mas também porque oferecem novos métodos de resoluções e novos olhares sobre o problema.
Neste aspecto, entende-se por uma matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo, ao coletarmos dados referentes às concentrações de pH do rio Columbia no primeiro trimestre dos anos de 2013 a 2015, podemos dispô-los na Tabela 1.1 a seguir.

Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, obtemos a seguinte matriz:
$\left[\begin{array}{l}\text{8,12 7,92 8,01}\\ \text{8,10 8,12 8,02}\\ \text{8,18 8,08 8,10}\end{array}\right]$

Uma questão que você pode estar se perguntando é: quais são os elementos que as matrizes podem incorporar? Na primeira impressão, pode parecer que as matrizes incorporam apenas números, porém elas podem incorporar muitos outros elementos, por exemplo, funções, matrizes, números complexos etc. De fato, considere a matriz:
$\left[\begin{array}{l}2-7i3x^3\\ x^2+2-i\end{array}\right]$
Essa matriz contém em suas entradas números complexos e equações/funções algébricas. Logo, uma matriz pode também conter uma combinação de elementos de natureza diferente, não sendo exclusivamente formada por apenas números.
Outro fator importante quando se trabalha com matriz é a representação dela em termos algébricos. Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por:
$A_{m\times n}\text{=}\left[\begin{array}{l}{\alpha }_{11}\dots {\alpha }_{1n}\\ ⋮\ddots ⋮\\ {\alpha }_{m1}\cdots {\alpha }_{mn}\end{array}\right]={\left[{\alpha }_{ij}\right]}_{m\times n}$
Em que a letra maiúscula representa a matriz, o subscrito m x n representa a ordem da matriz e o termo  representa a posição do elemento da matriz. Além disso, uma matriz é sempre escrita entre colchetes, parênteses ou duas barras. 

Quando se fala de matriz, uma propriedade que merece destaque é a de igualdade de matrizes. Diremos que duas matrizes são iguais se elas têm necessariamente o mesmo número de linhas e colunas e seus termos correspondentes são todos iguais.

Uma segunda propriedade das matrizes é a operação de adição de matrizes. Por exemplo, consideramos a Tabela 1.2 e a Tabela 1.3, as quais descrevem a produção de materiais de construção em dois anos consecutivos em três regiões brasileiras.

Suponha que nosso interesse seja descrever uma tabela que nos dê a produção por material de construção e por região nos dois anos conjuntamente. Como procederemos? Ora, neste caso, partimos da operação conhecida como adição de matrizes. Para realizá-la, devemos verificar se ambas as tabelas têm o mesmo número de linhas e de colunas. No nosso exemplo, essa condição é satisfeita. Logo, basta somar os elementos correspondentes e teremos a resposta para nosso objetivo! Assim: 
$A+B=\left[\begin{array}{l}\text{3000 200 400 600}\\ \text{ 700 350 700 100}\\ \text{1000 100 500 800}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}\text{5000 50 200 0}\\ \text{2000 100 300 300}\\ \text{2000 100 600 600}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\text{8000 250 600 600}\\ \text{2700 450 1000 400}\\ \text{3000 200 1100 1400}\end{array}\right]$
Portanto, a produção por material de construção e por região nos dois anos conjuntamente é descrita pela Tabela 1.4.

Além da adição e da igualdade de matrizes, duas outras operações são comuns ao estudarmos matrizes: a multiplicação de um escalar (número) por uma matriz e a multiplicação de matrizes. Ambas as operações podem ser definidas formalmente como: 
Definição: seja $A_{m\times n}={\left[a_{ij}\right]}_{m\times n}$ uma matriz de ordem m x n e k um número, podemos definir a matriz $k\cdot A={\left[k{a}_{ij}\right]}_{m\times n}$, a qual define a operação de multiplicação de uma matriz por um escalar.
Definição: sejam $A_{m\times n}={\left[a_{ij}\right]}_{m\times n}$ e $B_{n\times p}={\left[b_{rs}\right]}_{n\times p}$, definimos a multiplicação da matriz A pela matriz B como sendo a matriz $AB={\left[c_{uv}\right]}_{m\times p}$, em que: $c_{uv}={\sum }_k^n{a}_{uk}{b}_{kv}=a_{u1}{b}_{1p}+\cdots +a_{un}{b}_{nv}$.
A primeira operação definida é relativamente simples, pois basta multiplicar o número por cada elemento da matriz. Quanto à segunda operação, devemos tomar um certo cuidado com ela. Por quê? Vamos ver algumas observações do produto de matrizes:
•  Só podemos multiplicar duas matrizes A e B se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
•  O elemento  é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz e somando-se esses produtos.
•  O produto AB das matrizes A e B geralmente é diferente do produto BA das matrizes B e A. Além disso, em qualquer um dos casos, o produto pode não existir.
Para exemplificar essa operação, consideraremos a matriz A, que representa o quadro com o número de engenheiros de uma construção civil, e B como uma matriz que representa o número de projetos disponíveis em cada área da empresa, em que:
$A=\left[\begin{array}{l}\text{2 1}\\ \text{4 2}\\ \text{5 3}\end{array}\right]$
$B=\left[\begin{array}{l}\text{1 1}\\ \text{0 4}\end{array}\right]$
Suponha que o interesse seja multiplicar ambos os quadros, a fim de monitorar os recursos para a disposição dos projetos associados aos engenheiros. Neste caso, queremos trabalhar com o produto da matriz A com a matriz B. Isto é,
$R=AB=\left[\begin{array}{l}\text{2 1}\\ \text{4 2}\\ \text{5 3}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}\text{1 1}\\ \text{0 4}\end{array}\right]$
Como o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B, podemos realizar o produto, e o resultado é uma matriz dada pelo número de linhas de A com o número de colunas de B, isto é, a ordem da matriz resultante é . Assim:
$R=AB=\left[\begin{array}{l}\text{2 1}\\ \text{4 2}\\ \text{5 3}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}\text{1 1}\\ \text{0 4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\text{2 }\cdot \text{ 1 + 1 }\cdot 0\text{ 2 }\cdot \text{ 1 + 1 }\cdot \text{ 4}\\ \text{4 }\cdot \text{ 1 + 2 }\cdot 0\text{ 4 }\cdot \text{ 1 + 2 }\cdot \text{ 4}\\ \text{5 }\cdot \text{ 1 + 3 }\cdot 0\text{ 5 }\cdot \text{ 1 + 3 }\cdot \text{ 4 }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\text{2 6}\\ \text{4 12}\\ \text{5 17}\end{array}\right]$
Portanto, a matriz que representa os recursos para a disposição dos projetos associados aos engenheiros da empresa é dada por:
$R=\left[\begin{array}{l}\text{2 6}\\ \text{4 12}\\ \text{5 17}\end{array}\right]$
Agora que sabemos algumas das operações básicas de matrizes, interessa-nos saber quais são os tipos de matrizes que podemos encontrar em nossas situações-problema. Dos tipos conhecidos de matrizes, destacaremos dez deles:
1.  Matriz quadrada: é um tipo de matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas.
$\left[\begin{array}{l}\text{1 1}\\ \text{2 3}\end{array}\right]$
2.  Matriz nula: é aquela matriz em que todos seus termos são nulos.
$\left[\begin{array}{l}\text{0 0}\\ \text{0 0}\end{array}\right]$
3.  Matriz coluna: é o tipo de matriz formada apenas por uma coluna.
$\left[\begin{array}{l}\text{1}\\ \text{2}\end{array}\right]$
4.  Matriz linha: é aquela matriz que é formada por apenas uma linha.
$[3-12]$
5.  Matriz diagonal: é aquela matriz quadrada, em que todos os elementos fora da diagonal são nulos.
$\left[\begin{array}{l}\text{8 0 0}\\ \text{0 2 0}\\ \text{0 0 1}\end{array}\right]$
6.  Matriz identidade: é um tipo de matriz quadrada, em que todos os elementos da diagonal são iguais a um, e os elementos fora da diagonal são iguais a zero.
$\left[\begin{array}{l}\text{1 0}\\ \text{0 1}\end{array}\right]$
7.  Matriz triangular superior: é aquela matriz quadrada, em que todos os elementos abaixo da diagonal são nulos.
$\left[\begin{array}{l}\text{8 2 1}\\ \text{0 2 3}\\ \text{0 0 1}\end{array}\right]$
8.  Matriz triangular inferior: é aquela matriz quadrada, em que todos os elementos acima da diagonal são nulos.
$\left[\begin{array}{l}\text{8 0 0}\\ \text{1 2 0}\\ \text{3 5 1}\end{array}\right]$
9.  Matriz simétrica: é aquela matriz quadrada, em que se tem .
$\left[\begin{array}{l}\text{ 8 5 -1}\\ \text{ 5 2 0}\\ \text{-1 0 1}\end{array}\right]$
10. Matriz transposta: é a matriz obtida da operação, em que, dada uma matriz A, obtém-se uma matriz A’, tal que as linhas de A’ são as colunas de A.
${\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 4\\ 5& 7\left[\begin{array}{cc}& \end{array}\right]\end{array}\right)}^t=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 5\\ 2& 4& 7\end{array}\right)$
Agora que conhecemos os tipos de matrizes e as operações básicas em relação às matrizes, podemos definir o que é um determinante de uma matriz. Esse conceito será útil nas seções posteriores na solução de sistemas lineares envolvendo algumas situações do cotidiano.
O que é determinante? Ora, quando nos referimos a esse termo, estamos nos referindo a um número associado a uma matriz quadrada A. Esse número é denotado como det(A) ou |A|. Mas, como encontra-se esse valor? Depende do tamanho da nossa matriz. Nesta seção, trabalharemos com determinantes de matrizes até a ordem . Vamos lá?
Para as matrizes de ordem 1x1, não temos nenhum cálculo associado ao determinante, uma vez o que ele será o próprio elemento da matriz. No entanto, para uma matriz de ordem 2x2, o cálculo do determinante é feito realizando o produto dos elementos da diagonal principal subtraindo o produto dos elementos da diagonal secundária. Em termos matemáticos, temos:
$\det \left[\begin{array}{l}{\text{a}}_{\text{11}}{\text{ a}}_{\text{12}}\\ {\text{a}}_{\text{21}}{\text{ a}}_{\text{22}}\end{array}\right]=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$
Para as matrizes , o cálculo é feito da mesma maneira? Não necessariamente. Neste caso, utilizamos a regra de Sarrus para realizar o cálculo. Por esta regra, adicionamos duas novas colunas na matriz inicial, repetindo os valores das duas primeiras colunas. Agora temos três diagonais principais e três secundárias. Procedemos, então, da mesma forma do determinante . Em termos matemáticos, fazemos:
$\det \left(\left[\begin{array}{l}{\text{a}}_{\text{11}}{\text{ a}}_{\text{12}}{\text{ a}}_{\text{13}}\\ {\text{a}}_{\text{21}}{\text{ a}}_{\text{22}}{\text{ a}}_{\text{23}}\\ {\text{a}}_{\text{31}}{\text{ a}}_{\text{32}}{\text{ a}}_{\text{33}}\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}{\text{a}}_{\text{11}}{\text{ a}}_{\text{12}}{\text{ a}}_{\text{13}}\\ {\text{a}}_{\text{21}}{\text{ a}}_{\text{22}}{\text{ a}}_{\text{23}}\\ {\text{a}}_{\text{31}}{\text{ a}}_{\text{32}}{\text{ a}}_{\text{33}}\end{array}\right]\stackrel{}{\begin{array}{l}{\text{a}}_{\text{11}}{\text{ a}}_{\text{12}}\\ {\text{a}}_{\text{21}}{\text{ a}}_{\text{22}}\\ {\text{a}}_{\text{31}}{\text{ a}}_{\text{32}}\end{array}}$
$\begin{array}{l}=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\\ \cdot a_{33}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}\end{array}$
Com isso, encerramos a nossa primeira seção sobre os conceitos básicos e fundamentais de matrizes e determinantes, além das operações com esses objetos. Tais conceitos serão de suma importância para orientar sua equipe no trabalho proposto no início da unidade, especialmente para organização de dados.

Faça valer a pena

Referências

BORGES, R. S.; SOUZA, L. F. M.; CRUZ, P. G. G.; VANCONCELOS, B. S. Aplicação de matrizes no cotidiano de um engenheiro. In: COLÓQUIO ESTADUAL DE PESQUISA MULTIDISCIPLINAR, III, 2018, Mineiros. Anais [...]. Mineiros, GO: UNIFIMES, 2018.