Zero de funções

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Convite ao estudo

Caro aluno, o que vem à sua cabeça quando escuta o termo métodos numéricos? Aproximações? Se sim, você está em uma linha de pensamento correta! O cálculo numérico é um subtópico dos métodos matemáticos que envolvem aproximações para zeros de funções, aproximações de cálculo de integrais que podem estar relacionadas com a área de uma placa de metal, por exemplo.
Para iniciar o entendimento dessa ferramenta que se faz fundamental nos métodos matemáticos, vamos trabalhar com a ideia de como encontrar o zero de uma função usando o computador e os métodos de aproximação quando essa função for de uma natureza mais complexa. Um dos métodos mais conhecidos para isso é o famoso método de Newton-Rhapson, que estabelece critérios para encontrar uma aproximação da raiz de uma equação. Partindo dessa ideia de zeros de funções, em seguida, vamos trabalhar com o que chamamos de polinômio interpolador, que é um método de aproximação, uma função utilizando um polinômio de natureza simples, a fim de facilitar o entendimento do nosso problema. 
Por fim, vamos estudar os métodos numéricos para aproximar o valor de uma integral, que na prática é fundamental para o cálculo da área, especialmente quando se trabalha com placas de metais em formatos diferentes de figuras planas, por exemplo. Vamos ver cada um desses conceitos devagar no decorrer desta unidade.

Praticar para aprender

Caro aluno! Nesta seção, vamos trabalhar inicialmente com os conceitos de sistemas numéricos a fim de entender o que é um sistema numérico, como operamos um sistema numérico e como o computador e a calculadora entende esses sistemas numéricos. Em seguida, vamos entender o conceito de erro e quais tipos de erros podemos cometer quando trabalhamos com aproximações numéricas. Por fim, vamos trabalhar com os tipos de métodos numéricos que temos para lidar com o problema de encontrar o zero (raíz) de uma função, independente da forma dessa função. 
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar o problema de encontrar o ponto que maximiza, por exemplo, a temperatura de operação de uma máquina industrial para entender a resistência em casos de acidentes térmicos. Dado a complexidade do problema, muitas vezes, não é possível obter uma solução usando métodos analíticos, fazendo-se assim o uso de métodos numéricos importantes.
Vamos criar uma situação hipotética para exemplificar o uso dos métodos numéricos no dia a dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas com a Engenharia.
Imagine que você foi convocado para implementar um método numérico para resolver o problema de maximização de lucro de uma dada empresa de software no ano de 2020. O método que a empresa definiu para a implementação no software matemático Maple foi o método do ponto fixo descrito pelos passos:
Dado $f\left(x\right) = 0$, tal que escrevemos $\phi \left(x\right) = x$ e seja $x_0$ aproximação inicial e $\epsilon > 0$ tolerância, tem-se que:

1. Se $\left|f\left(x_0\right)\right| < \epsilon$ faça $c = x_0$ e pare.
2. $k = 1$.
3. $x_k=\phi \left(x_{k-1}\right)$.
4. Se $\left|f\left(x_k\right)\right| < \epsilon$ ou $\left|x_k - x_{k-1}\right| < \epsilon$ faça $c = x_1$ e pare.
5. $x_{k-1} = x_k$.
6. $k = k + 1$ e volte ao passo 3.

Como você faria para implementar esse algoritmo computacionalmente de forma que ele fosse útil para a empresa? Além disso, a partir dessa implementação, calcule o valor do lucro máximo quando a função que determina o lucro é dada por $f\left(x\right)\text{}=e^{x-2}$ assumindo uma aproximação inicial de 0.1 e uma precisão de 1%.
Viu como os métodos numéricos são fundamentais? Que tal começar a entender como funcionam agora? Você será acompanhado em todo o processo no decorrer da seção! Vamos iniciar então com algo mais simples, mas que é base para todo o resto dos métodos numéricos: os sistemas numéricos.

conceito-chave

Você já parou para pensar no que são métodos numéricos? Como utilizamos um sistema numérico? Nesta unidade, nosso foco será trabalhar com métodos numéricos e é importante destacar que, quando falamos de uma solução numérica, não estamos falando de uma solução exata, e sim de uma solução aproximada. E como estamos falando de aproximações, estamos falando necessariamente de precisão numérica, que é sujeita a erros. Assim, vamos começar nossos estudos definindo o que é um sistema de ponto flutuante.
Vamos iniciar com um conceito muito importante que é o conceito de sistema de aritmética de ponto flutuante. Você tem ideia do que é esse conceito? Basicamente, um sistema de aritmética de ponto flutuante, representado por $F\left(\beta , t, e_{min}, e_{max}\right)$, é um subconjunto dos números reais, $F \subset ℝ$, tal que os elementos têm a forma:
$y = \pm \left(\frac{d_1}{{\beta }^1}+\frac{d_2}{{\beta }^2}+\frac{d_3}{{\beta }^3}+\dots +\frac{d_t}{{\beta }^t}\right){\beta }^e=\pm \left(.d_1{d}_2{d}_3\mathrm{...}{d}_t\right){\beta }^e$onde $0 \le d_i<\beta , i = \mathrm{1,} \mathrm{2,} . . . , t$. Isto é, esse sistema se caracteriza por quatro componentes: a base $\beta$ (que pode ser binária, decimal, hexadecimal, etc.); a precisão $t$ (número de algarismos do que chamamos de mantissa, que são os algarismos que aparecem depois do ponto); e a variação do expoente , tal que $e_{min}\le e \le e_{max}$. 

Agora, vamos entender como funciona esse sistema. Começamos com a mantissa, ela deve ser fracionária nessa representação, isto é, deve ser menor do que 1 para que possamos trabalhar com a unicidade para a representação para cada $y\in F$. Mas como fazemos isso? Ora, devemos trabalhar com o que chamamos de normalização. Essa normalização deve ser feita de forma que $d_1\ne 0$ para $y\ne 0$ para garantir a representação do sistema de ponto flutuante.
Mas temos um problema quando fazemos essa normalização. Você deve estar se perguntando qual e lhe digo que é a questão do zero. Mas como assim? Veja que a normalização no sistema de ponto flutuante exige que $d_1\ne 0$, para obter unicidade na representação, mas infelizmente essa restrição torna impossível representar o zero de modo a adicioná-lo ao sistema. Então, como podemos representar o zero nesse sistema? Nesse caso, uma maneira natural de representar o zero é com o menor expoente possível, usando: $\mathrm{0,1}\times {\beta }^{e_{min}}$. 

Uma vez definido o que é um sistema de aritmética de ponto flutuante, resta saber se é um conjunto finito. De acordo com a definição do sistema de ponto flutuante (ANDRADE, 2012), podemos notar que a quantidade de números normalizados é definida pela expressão:
 $2\left(\beta - 1\right){\beta }^{t-1}\left(e_{max}-e_{min}+ 1\right) + \mathrm{1,}$
uma vez que existem dois caminhos para o sinal, isto é, $\beta - 1$ escolhas para o dígito $d_1$, $\beta$ escolhas para os $t - 1$ dígitos restantes da mantissa, $e_{max}-e_{min}+ 1$ valores para expoente. 
Essa questão de o sistema de ponto flutuante ser finito deriva, principalmente, da questão em que o computador e a calculadora trabalham com seus cálculos utilizando uma quantidade finita de dígitos. Por exemplo, na calculadora normal temos 8 dígitos, na científica 14, e assim por diante; porém nenhum dos dois trabalha com uma quantidade infinita de dígitos. Nesse aspecto, o uso dos métodos numéricos traz a necessidade de trabalharmos com o roll finito de dígitos. 
Então, sabemos que precisamos trabalhar com uma quantidade finita de dígitos, mas sabemos também que os números irracionais, por exemplo, têm quantidades infinitas de dígitos. Como procedemos para descartar os dígitos a fim de deixar esse número “finito”? Ora, existem duas maneiras de se fazer isso: arredondamento simétrico ou truncamento. Mas antes de definir o que são ambos, vamos ressaltar que tanto o computador quanto a calculadora trabalham com representação numérica discreta, isto é, dado um número $x\ne 0$ no sistema de aritmética de ponto flutuante de base 10, então x é escrito como:
$x = \pm \mathrm{0,}{a}_1{a}_2\mathrm{...}{a}_t{a}_{t+1}\mathrm{...}{a}_n\times {10}^e,$
onde $a_1\ne 0$. Nesse caso, a mantissa são os dígitos $a_1,\dots , a_n$ e  é o expoente. Logo, podemos representar x com  dígitos de duas maneiras diferentes. Ou seja,
$x = \pm \mathrm{0,}{a}_1{a}_2\mathrm{...}{a}_t{a}_{t+1}\mathrm{...}{a}_n\times {10}^e,$
 $x = \pm \left(\mathrm{0,}{a}_1{a}_2\mathrm{...}{a}_t\right)+\mathrm{0,000}\dots 0a_{t+1}\mathrm{...}{a}_n)\times {10}^e,$
 $x = \pm \mathrm{0,}{a}_1{a}_2\mathrm{...}{a}_t\times {10}^e+\pm \mathrm{0,}{a}_{t+1}\mathrm{...}{a}_n\times {10}^{e-t},$
Ou ainda, 
 $x = f \times {10}^e+g\times {10}^{e-t}$
Em que
$f = \pm \mathrm{0,}{a}_1{a}_2 . . . a_t, 0<\left|f\right|<1$
$g = \pm \mathrm{0,}{a}_{t+1} . . . a_n, 0\le \left|g\right|<1$
Com essas representações em mente, podemos, então, definir os tipos de arredondamentos. Assim, no que se refere ao arredondamento simétrico, ele pode ser definido como: se o primeiro dígito a ser desprezado é menor que cinco, descartamos todos os dígitos restantes; porém, se esse dígito for maior do que 5, então somamos 1 ao dígito que antecede esse dígito. Por exemplo, considere o número 5.2131412... e suponha que queremos esse número com apenas três casas decimais. Nesse caso, o dígito na quarta casa decimal é igual a 1, que é menor do que 5, então descartamos todos os dígitos a partir da quarta casa decimal e ficamos com o número 5.213. Agora, no que tange ao conceito de arredondamento por truncamento, ele é definido como: após decidir até qual casa decimal vamos utilizar, simplesmente descartamos o restante dos dígitos.

Conseguiu perceber a diferença entre os arredondamentos? Veja que, em ambos os casos, obtemos um resultado diferente do valor original, uma vez que descartamos casas decimais. Essa diferença é o que chamamos de erro, e é importante conhecermos a magnitude desses erros. Assim, vamos trabalhar com dois tipos de erros: o absoluto e o relativo. Suponha que $\overline{x}$ seja uma aproximação para $x$. O erro absoluto é definido por:
$E{A}_x=\left|x-\overline{x}\right|$e o erro relativo por:
$E{R}_x=\frac{\left|x-\overline{x}\right|}{\left|x\right|}, x\ne 0.$
Em geral, o valor exato de  não é sempre conhecido. Nesse caso, o cálculo do erro relativo não seria possível, no entanto, podemos utilizar a seguinte expressão do erro relativo quando o valor exato não é conhecido:
$E{R}_x=\frac{\left|x-\overline{x}\right|}{\left|\overline{x}\right|}, \overline{x}\ne 0.$

Com base no exemplo anterior, percebemos que a confiança na nossa estimativa é fundamental ao se utilizar métodos numéricos. Uma maneira de fazer isso é usando o conceito de dígitos significativos. Para isso, vamos considerar a situação do cálculo da hipotenusa de um triângulo retângulo. Suponha que um triângulo retângulo tenha hipotenusa medindo $\sqrt{20}$ cm. Se utilizarmos um instrumento de medida, como uma régua, vemos a medida ficar entre $\mathrm{4,47}$ e $\mathrm{4,48}$.

Para responder essa questão, podemos trabalhar com a relação entre os conceitos de erro relativo e de dígitos significativos por meio da seguinte proposição: se o erro relativo do valor aproximado de um número não excede $0.5\times {10}^{-n}$, então esse valor tem $n$ dígitos significativos (ANDRADE, 2012). Assim, dizemos que $\overline{x}$ aproxima  com $x$ dígitos significativos se $d$ é o maior inteiro positivo, tal que:
$\frac{\left|\overline{x}-x\right|}{\left|\overline{x}\right|}<\frac{1}{2}\times {10}^{-d}$
Portanto, para encerrar a primeira parte do nosso conteúdo da seção, iremos finalizar com os conceitos de estabilidade numérica. Em poucas palavras, podemos definir a estabilidade numérica como sendo uma propriedade do algoritmo, uma vez que algoritmos podem ser bem sensíveis conforme a variação de dados, independentemente do método numérico utilizado. Isto é, de acordo com os dados que temos, um algoritmo pode se tornar instável. E são esses conceitos que nos dão a ideia da segunda parte do nosso conteúdo!
Suponha agora que estamos interessados em encontrar, numericamente, uma solução aproximada para a equação $f\left(x\right)=0$, onde $f$ é uma função qualquer. Nesta seção, vamos apresentar os métodos mais comumente utilizados, entre eles o método da bissecção, o método do ponto fixo e o método de Newton-Rhapson.
Vamos iniciar com o método da bissecção. O passo inicial desse método é encontrar dois pontos, x e y, tais que $f\left(x\right)\ge 0$ e $f\left(y\right)\le 0$. Se f(x) = 0 ou f(y) = 0, nós paramos o método. Se f(x) = 0, então x é a raiz da equação, e o mesmo vale para y quando f(y) = 0. Estamos interessados no caso fora dessas situações. Assim, vamos considerar $f:\left[a, b\right] \to ℝ$ contínua, tal que $f\left(a\right)f\left(b\right) < 0$. Seja $m$ o ponto médio de $\left[a, b\right]$. Observe que se $f\left(a\right)f\left(m\right) < 0$, então, pelo teorema do valor intermediário, temos uma raiz no intervalo $\left[a,m\right]$. Por outro lado, se $f\left(a\right)f\left(m\right) > 0$, então temos que $f\left(a\right)f\left(m\right)f\left(a\right)f\left(b\right) = {\left[f\left(a\right)\right]}^{2}f\left(m\right)f\left(b\right) < 0$, pois $\left[f\left(a\right)\right]² >0$. Assim, segue que $f\left(m\right)f\left(b\right) < 0$ e, portanto, a raiz está localizada no intervalo $\left[m, b\right]$. Dessa forma, chamando $a_0=a$ e $b_0=b$ e aplicando-se diversas vezes a bissecção, teremos os intervalos $\left[a_k, b_k\right]$ e pontos médios $m_k$. Logo, segue que:
$\left|b_k-a_k\right|=b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}$
Ou seja, o método da bissecção trabalha com uma sequência convergente com base em intervalos encaixados. Esse método em particular é extremamente lento, mas a convergência é garantida se f for uma função contínua.
Certo, vimos uma maneira de resolver $f\left(x\right)=0$. Vamos agora trabalhar sob outro enfoque, o método do ponto fixo. Como trabalhamos com esse método? Ora, inicialmente, dizemos que $c$ é um ponto fixo para $f$ se $f\left(c\right) = c$. Agora, seja $f\left(x\right) = 0$ tal que escrevemos $\phi \left(x\right) = x$ e seja $x_0$ aproximação inicial e $\epsilon > 0$ para o erro aceitável (ou tolerância para o erro admitindo o método), seguimos os passos (ANDRADE, 2012):

1. Se $\left|f\left(x_0\right)\right| < \epsilon$ faça $c = x_0$ e pare.
2. $k = 1$.
3. $x_k = \phi \left(x_{k-1}\right)$.
4. Se $\left|f\left(x_k\right)\right| < \epsilon$ ou $\left|x_k - x_{k-1}\right| < \epsilon$ faça e pare.
5. $x_{k-1} = x_k$.
6. $k = k + 1$ e volte ao passo 3.

Com isso, encerramos a nossa primeira seção sobre os conceitos básicos e fundamentais de sistemas numéricos, além dos métodos para encontrar zero de funções! Tais conceitos serão de suma importância para orientar sua equipe no trabalho e também para resolver problemas relativos à modelagem que envolva métodos numéricos.

Faça valer a pena

Referências

ANDRADE, D. Cálculo Numérico. In: NOTAS de aula. [S. l.], 2012.
FERNANDES, D. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2015
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2006.
GIUSTINA, E. D.; AVELAR, S. F. Aplicação do método de Newton-Rhapson para resolver problema de despacho econômico envolvendo geração térmica de energia elétrica. In: IX SEEMI - Seminário Estadual de Engenharia Mecânica e Industrial. Anais do XV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial. Novo Hamburgo, 2015. Disponível em: http://www.feevale.br/Comum/midias/b5eae6f1-6386-4c4c-9eb5-01418ad7e47b/EDGAR%20DELLA%20GIUSTINA%20-1.pdf. Acesso em: 23 jun. 2021.
UFRGS. Método de Newton-Raphson. UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. 2020. Disponível em: https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/sdeduv-metodo_de_newton-raphson.html. Acesso em: 26 mar. 2021.