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Praticar para aprender

Caro aluno, nesta seção, abordaremos o conceito de espaços vetoriais e transformações lineares. Os espaços vetoriais são uma das estruturas algébricas mais importantes da álgebra, cujas aplicações são encontradas em diversos aspectos do nosso dia a dia, por exemplo, no espectro de cores, que nos permite fazer mudanças de coordenadas desses espectros baseando-se no conceito dos espaços vetoriais e das transformações lineares. E falando em transformações lineares, esses tipos de operações são a base fundamental da álgebra linear, podendo ser aplicada em engenharia da computação quando trabalhamos com criptografia, por exemplo.
Já os autovalores, os autovetores e a diagonização são outras ferramentas que podem ser utilizadas em engenharia biomédica nas questões de crescimento populacional e transformações, e na computação em mecanismos de busca, como o Google.
Criaremos uma situação hipotética para exemplificar o uso das transformações lineares em situações do cotidiano.
Em um estudo envolvendo engenharia biomédica, um determinado pesquisador trabalhou com espectro de cores, em particular, coordenadas em espectro de cores. Em sua pesquisa, ele tinha por interesse mudar o sistema de cores, a fim de ampliar o espectro visível na retina. Sabe-se que, em geral, o espectro de cores é baseado em RGB (red-green-blue), porém esse pesquisador tinha interesse em criar um novo sistema de cores para determinar o espectro de cores. Ele chamou esse novo padrão de YGM (yellow-gray-magenta), que se baseia em mudanças de coordenadas por meio da transformação linear $T : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ definida por $T ((x, y)) = (x, - y)$ . No entanto, ele tinha dúvidas em como verificar se a transformação era, de fato, linear e lhe contratou para fazer tal verificação, pois, se ela fosse linear, o sistema de cores dele faria sentido no espectro. Então, baseando-se nos conceitos de transformação linear, como você verificaria se a transformação é linear? O sistema criado pelo pesquisador fez sentido em relação ao espectro de cores?
Conseguiu ver a importância desses conceitos? Que tal começarmos a trabalhar com eles e entender melhor sob o ponto de vista matemático e prático? Não se preocupe, vamos lhe acompanhar em todo o processo, e os conceitos serão construídos de forma gradual.

conceito-chave

Nas seções anteriores, exploramos os conceitos de matrizes e sistemas lineares munidos das suas principais aplicações. Nesta seção, trabalharemos o conceito de uma das estruturas algébricas mais importantes da álgebra linear: o espaço vetorial.
Um espaço vetorial V (sobre um campo F) é um conjunto, cujos elementos são chamados de vetores, de modo que se pode adicionar (e subtrair) vetores e multiplicar um vetor por uma constante de F. Essas constantes são chamadas escalares. Matematicamente, os axiomas que definem um espaço vetorial são:
•  V é um grupo Abeliano isto é, valem as propriedades:
  Lei comutativa: $v + w = w + v$ .
  Lei associativa: $u + (v + w) = (u + v) + w$ .
  Elemento neutro: $u + 0 = 0 + u = u$ .
  Elemento oposto: $u - u = 0$ .
•  V admite uma multiplicação escalar por elementos de F, isto é, valem as propriedades:
$- u = (- 1) u$ .
  Distributiva: $a (u + v) = a u + a v$ .
  Associativa: $a (b u) = (a b) u$ .
Por exemplo, $ℝ^{n}$ se torna um espaço vetorial (sobre $ℝ$ ) para as operações $(x_{1}, ..., x_{n}) + (y_{1}, ..., y_{n}) = (x_{1} + y_{1}, ..., x_{n} + y_{n})$ e $a (x_{1}, ..., x_{n}) = (a x_{1}, ..., a x_{n})$ para todos os a e $x_{i}$ em $ℝ$ . Um exemplo mais sofisticado, porém mais complicado, seria o espaço $C [0,1]$ de todas as funções contínuas de valor real definidas em $[0,1]$ com as operações naturais $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ e $(a f) (x) = a f (x)$ .
Dentre as aplicações de espaços vetoriais, uma que se faz interessante é a que envolve a mudança de coordenadas nos espectros de cores em relação ao sistema de cores RGB (red-green-blue). Por exemplo, em física, o modelo matemático que se adequa à representação do espaço espectral de cores é necessariamente um espaço vetorial de dimensão finita, em que o processo de reconstrução de cor utiliza uma base de cores primárias, que seria a base do espaço vetorial, gerando o modelo tricromático de Young-Helmholtz, baseado no padrão RGB. Mas, antes de entrar no conceito de base e dimensão, definiremos o que chamamos de subespaço vetorial.
Popularmente, dizemos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é chamado de subespaço quando se torna um espaço vetorial com as operações herdadas de V, ou seja, quando somas e múltiplos escalares de vetores em W pertencem a W. Matematicamente, dizemos que W é um subespaço vetorial de V quando $W \subset V$ , tal que $o \in W$ ; $u + v \in W$ e $a u \in W$ .
Dentre os exemplos, faremos um destaque para o subespaço chamado de span, isto é, se A é um conjunto de vetores em V, então o span(A) de A é o menor subespaço de V que contém A. Ele pode ser construído tomando todas as combinações lineares (ou seja, suponha que $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k} \in V$ e $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k} \in ℝ$ . Então $\sum_{i = 1}^{k} c_{i} v_{i}$ é a combinação linear de $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}$ com pesos $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}$ ) dos vetores em A. Neste caso, $s p a n (A) = (v_{1}, \dots, v_{k})$ é um subespaço de V.
Uma vez definido o que é subespaço vetorial, podemos trabalhar com o conceito de base e dimensão abordado no exemplo sobre espectro de cores descrito anteriormente. Neste aspecto, dizemos que uma base é uma coleção de vetores B de um espaço vetorial V quando cada vetor em V pode ser escrito de uma maneira única como combinação linear de elementos de B. As bases são precisamente os conjuntos máximos independentes de vetores. As bases também são precisamente os conjuntos de abrangência mínima de vetores e, em particular, cada conjunto de abrangência pode ser reduzido a uma base. Vale lembrar também que todo espaço vetorial tem uma base.
Definimos o que é base, mas e o que é dimensão? Para definir esse conceito, tome quaisquer duas bases de V que têm o mesmo “tamanho”. Esse “tamanho” é chamado de dimensão de V, e denotamos por dim(V).

Exemplificando

Por exemplo, $d i m (ℝ^{n}) = n$ e $\dim (C [0,1]) = \infty$ . De fato, a base elementar de $ℝ^{n}$ consiste nos n vetores e₁=(1,0, ...,0), ..., e_i=(0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) , ..., e_n=(0, ..., 0, 1) onde tem um 1 no i-ésima posição. Para exemplificar, consideraremos o vetor $(x, y) \in ℝ^{2}$ e tomaremos a base $B = {(1,0), (0,1)}$ . Note que o vetor genérico dado pode ser escrito como $(x, y) = x (1,0) + y (0,1)$ para quaisquer que sejam os valores de x e y. Logo, $\dim (ℝ^{2}) = 2$ , e o resulto é análogo para $ℝ^{3},..., ℝ^{n}$ .

Agora, já sabemos o que é um espaço vetorial e o que é uma base, que são ferramentas de suma importância para definir a nossa próxima estrutura de trabalho, as transformações lineares. E o que é uma transformação linear? Considere V e W dois espaços vetoriais sobre um corpo F. Uma transformação linear de V em W é uma função $T : V \to W$ que satisfaz:
• $T (v_{1} + v_{2}) = T (v_{1}) + T (v_{2})$ .
• $T (α v) = α T (v)$ .
Para todo e todo escalar . Como primeiro exemplo, consideraremos V um espaço vetorial qualquer, a transformação identidade, definida por $I (v) = v$ , que é uma transformação linear de V em V. De fato:
• $I (v_{1} + v_{2}) = v_{1} + v_{2} = I (v_{1}) + I (v_{2})$ ;
• $I (α v) = α v = α I (v)$ .

Exemplificando

Um outro exemplo de transformação linear, dado que V é um espaço vetorial qualquer, é a transformação nula, definida por $0 (α) = 0$ . De fato:
• $0 (v_{1} + v_{2}) = 0 = 0 + 0 = 0 (v_{1}) + 0 (v_{2})$ .
• $0 (α v) = 0 = α 0 = α T (v)$ .

Quais são as propriedades de uma transformação linear? Para verificarmos isso, sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo F. A transformação linear $T : V \to W$ satisfaz as seguintes propriedades:
• $T (0) = 0$ (T transforma o vetor nulo de V no vetor nulo de W).
• $T (- v) = - T (v)$ , para todo $v \in V$ .
• $T (v_{1} - v_{2}) = T (v_{1}) - T (v_{2})$ , para todo $v_{1}, v_{2} \in V$ .
• Se U é um subespaço de V, então a imagem de U por T é um subespaço de W.
• Sendo $T : V \to W$ linear, então:
$T (\sum_{i = 1}^{n} α_{i} v_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} T (v_{i})$
Baseando-se nessas propriedades, podemos trabalhar com o conceito de base também. Isto é, dados V e W dois espaços vetoriais sobre um corpo F e dada uma base de $V = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ , sejam $w_{1}, \dots, w_{n}$ elementos arbitrários de W. Existe uma única transformação linear $T : V \to W$ , tal que $T (v_{1}) = w_{1}, \dots, T (v_{n}) = w_{n}$ . De fato, dado $v \in V$ , existe uma única n-upla $(x_{1}, \dots, x_{n})$ tal que $v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n}$ e $T (v) = x_{1} w_{1} + \dots + x_{n} w_{n}$ . Assim, T é uma aplicação bem definida que associa cada vetor v em V a um vetor $T (v)$ em W. Portanto, pela definição de T, é imediato que $T (v_{1}) = w_{1}, \dots, T (v_{n}) = w_{n}$ . Agora, precisamos verificar que, de fato, T é linear. Para verificar que T é uma transformação linear, seja $u = y_{1} v_{1} + \dots + y_{n} v_{n}$ um vetor de V e $α$ um escalar qualquer, temos que:
$α v + u = (α x_{1} + y_{1}) v_{1} + \dots + (α x_{n} + y_{n}) v_{n}$
Então:
$T (α v + u) = (α x_{1} + y_{1}) w_{1} + \dots + (α x_{n} + y_{n}) w_{n}$
Por outro lado:
$T (α v) + T (u) = α \sum_{i = 1}^{n} x_{i} w_{i} + \sum_{i = 1}^{n} y_{i} w_{i} = \sum_{i = 1}^{n} (α x_{i} + y_{i}) w_{i}$
Logo, $T (α v + u) = T (α v) + T (u)$ , e T é uma transformação linear.
Quando trabalhamos com transformação linear, um outro conceito que se faz de extrema importância é o conceito de núcleo de uma transformação linear. No que tange a eleo, sejam V e W dois espaços vetoriais sobre um corpo F e $T : V \to W$ uma transformação linear. O núcleo de T é dado pelo seguinte subconjunto de V: $K e r (T) = {v \in V ∣ T (v) = 0}$ . Para exemplificar, seja $T : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ uma transformação linear definida por $T (x, y) = (0, x + y, 0)$ . Qual é o núcleo de T? Neste caso, temos que o núcleo de T é dado por:
$(x, y) \in K e r (T) \leftrightarrow (0, x + y, 0) = (0, 0, 0) \leftrightarrow x = - y$
Isto é: $K e r (t) = {(x, - x) ∣ x \in ℝ}$ .
O núcleo da transformação linear tem algumas propriedades importantes para nosso trabalho. Dentre todas elas, destacamos:
• $K e r (T)$ é um subespaço vetorial de V.
• A transformação T é injetora se, e somente se, $K e r (T) = {0}$ .
Definimos o núcleo e as condições para uma transformação ser injetora. Mas, e no que diz respeito à imagem e à sobrejetividade? Ora, dados V e W dois espaços vetoriais sobre um corpo F e $T : V \to W$ uma transformação linear. A imagem de T é dada pelo seguinte subconjunto de W: $I m (T) = {w \in W ∣ T (v) = w}$ . Para exemplificar esse conceito, seja $T : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ uma transformação linear definida por $T (x, y, z) = (x, 2 y, 0)$ . Qual é a imagem da transformação T? Neste caso, a imagem de T é dada por:
$Im (T) = {(x,2 y,0) : x, y \in ℝ} = {(x (1,0,0) + y (0,1,0) : x, y \in ℝ} = {(1,0,0), (0,2,0)}$
Uma vez definida a imagem de uma transformação, podemos definir o conceito de sobrejetora, isto é, seja V e W dois espaços vetoriais sobre um corpo F e $T : V \to W$ uma transformação linear. Dizemos que T é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W, ou seja, $T (V) = W$ , isto é, T será sobrejetora se dado $w \in W$ existir $v \in V$ , tal que $T (v) = w$ .
Agora, com o núcleo e a imagem de uma transformação linear definidos, podemos definir o resultado fundamental da teoria de transformações lineares, que é o Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema traduz a dimensão do espaço vetorial.

Assimile

Teorema do Núcleo e da Imagem: sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo F. Dada a transformação linear $T : V \to W$ , então:
$d i m (V) = d i m (K e r (T)) + d i m (I m (T))$
Portanto, a soma das dimensões do Ker(T) e da Im(T) é igual à dimensão do espaço vetorial V.

Para exemplificar esse resultado, consideraremos a transformação linear $T : ℝ^{3} \to ℝ$ dada por $T (x, y, z) = x + y - z$ . A partir dessa transformação, determinaremos uma base do Ker(T) e, a partir da dimensão do Ker(T) e da dimensão de $ℝ^{3}$ , determinaremos a dimensão da Im(T). Começamos, então, pelo núcleo. Dizemos que um elemento (x, y, z) de $ℝ^{3}$ pertence ao núcleo de T se:
$T (x, y, z) = x + y - z = 0 \Rightarrow x = - y + z$
Isto é, um elemento do núcleo de T é da forma $(x, y, z) = (- y + z, y, z) = y (- 1,1,0) + z (1,0,1)$ . Logo, $B = {(- 1,1,0), (1,0,1)}$ é um conjunto de geradores de Ker(T) e LI, isto é, B é uma base de Ker(T) e $\dim (K e r (T)) = 2$ . Como a $dim (ℝ^{3}) = 3$ , pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, temos que:
$dim (ℝ^{3}) = dim (K e r (T)) + dim (I m (T))$
$\Rightarrow 3 = 2 + dim (I m (T)$
$\Rightarrow dim (I m (T)) = 3 - 2 = 1$
Um outro conceito importante que diz respeito às transformações lineares é o conceito de isomorfismo. Para definir tal conceito, sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo F, suponha que $T : V \to W$ é uma transformação linear. Dizemos que T é um isomorfismo se T for bijetora (isto é, T deve ser injetora e sobrejetora).

Reflita

Considere a transformação linear $T : ℝ^{2} \to P_{1} (ℝ)$ definida por $T (x, y) = x + (x + y) t$ . É um isomorfismo? Observação: $P_{1} (ℝ)$ é o espaço vetorial de todos os polinômios de grau 1 com coeficientes reais.

Para finalizar nosso estudo de transformações lineares, trabalharemos com a matriz de uma transformação linear, porém, antes, precisamos definir algumas coisas.

Assimile

Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão n e m, respectivamente, sobre $ℝ$ . Consideremos uma transformação linear $F : U \to V$ . Dadas as bases $B = {u_{1}, \dots, u_{n}}$ de U e $C = {v_{1}, \dots, v_{m}}$ de V, cada um dos vetores $F (u_{1}), \dots, F (u_{n})$ está em V e, consequentemente, é combinação linear da base C, isto é:
$F (u_{1}) = α_{11} v_{1} + \dots + α_{m 1} v_{m}$
$F (u_{2}) = α_{12} v_{1} + \dots + α_{m 2} v_{m}$
$⋮$
$F (u_{n}) = α_{1 n} v_{1} + \dots + α_{m n} v_{m}$
Ou simplesmente:
$F (u_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} α_{i j} v_{j}$

A partir dessa definição, podemos escrever a matriz de ordem mxn da transformação linear F como sendo:
$M = [\begin{matrix} α_{11} & \dots & α_{1 n} \\ ⋮ & \dots & ⋮ \\ α_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]$
É chamada de matriz da transformação linear F em relação às bases B e C e é denotada por ${(F)}_{B, C}$ .
Passaremos agora para o conteúdo final desta seção: autovalores, autovetores e diagonalização de operadores lineares. Começamos definindo o que é um autovetor e um autovalor. Neste aspecto, seja V um espaço vetorial sobre um corpo F e $T : V \to V$ um operador linear. Dizemos que um vetor $v \neq 0$ de V é um autovetor de T se existe um escalar k tal que T(v)=kv. Neste caso, dizemos que k é um autovalor de T associado a $v$ . Para exemplificar esse conceito, considere a transformação linear $T : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ definida T(x, y, z)=(x, y, 0) e note que (0, 0, 1) é um autovetor de T com autovalor k=0, pois T(0, 0, 1)=(0, 0, 0). Mas, na prática, como trabalhamos com esses conceitos? Para isso, partimos do que chamamos de polinômio característico, que trabalha com a matriz de uma transformação linear.

Assimile

Seja V um espaço vetorial de dimensão n e $T : V \to V$ uma transformação linear. Dizemos que $p_{T} (t)$ é um polinômio característico de T se for obtido como $p_{T} (t) = \det (A - k I)$ , em que A é a matriz de T e I é a matriz identidade de ordem .

Por exemplo, considere uma transformação linear que tem como matriz em relação à base canônica de $ℝ^{2}$ a seguinte matriz:
$A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$
Com base na definição de polinômio característico, temos que ele é dado por:
$p_{T} (t) = \det (\begin{matrix} - k & 1 \\ 1 & - k \end{matrix}) = k^{2} - 1$
As raízes são 1, -1 nos números reais. As raízes dos polinômios característicos são conhecidas como autovalores de T, que é uma outra definição desse conceito. Uma vez que sabemos o que é autovalor e autovetor, podemos definir o que é diagonalização de operações, que é a definição final desta seção. Vamos lá?
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Um operador linear (ou transformação linear) $T : V \to V$ é dito diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T. Para exemplificar, consideraremos o operador $T : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ definido por T(x, y)=(4x+4y, x+4y), que tem como autovetores (2, -1) e (2, 1), os quais formam uma base de $ℝ^{2}$ .
Como exercício, você pode verificar se os autovetores encontrados formam, de fato, uma base de $ℝ^{2}$ . E, para encerrar esta seção, deixamos uma reflexão: em quais situações práticas do cotidiano podemos aplicar o conceito de autovalores e autovetores e de diagonalização de operadores?

Faça valer a pena

Questão 1

As transformações lineares são ferramentas fundamentais da álgebra linear, sendo uma de suas principais aplicações em criptografia. No entanto, é necessário entender o que faz um operador ser classificado como linear que difere um pouco de funções lineares do cálculo.
Com base na definição de transformação linear, assinale a alternativa correta: