Interpolação

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Caro aluno, nesta seção iremos entender o conceito de interpolação polinomial, que consiste em aproximar uma função usando polinômios. Para isso, dois métodos serão considerados: o método de Lagrange e o método de Newton. A vantagem do uso da interpolação polinomial, por exemplo, é que se uma dada função com forma complexa puder ser aproximada por um polinômio, então o nosso trabalho na modelagem facilita bastante, pois os polinômios são mais flexíveis para se trabalhar.
Como exemplo do uso do polinômio interpolador, considere a situação em que você precisa modelar o lucro trimestral de sua empresa. Como, em geral, a curva do lucro é complexa, você pode utilizar o polinômio de Lagrange para aproximá-la e fazer a previsão do lucro. Uma alternativa a isso são os métodos estatísticos que serão trabalhados posteriormente em outras seções.
Em determinada empresa de solventes químicos, deseja-se achar uma forma mais eficiente de trabalhar com a demanda dos produtos. Pensando nisso, a empresa resolveu ajustar o modelo que descrevia a demanda usando um polinômio interpolador a partir método de Lagrange. No entanto, nenhum dos funcionários tinha conhecimento sobre como fazer isso. Devido a essa carência, a empresa então lhe contratou para resolver o problema. Sabendo que os pontos de demanda eram baseados nos pontos , foi lhe requisitado a equação do polinômio interpolar que passava por esses pontos a fim de entender como estava funcionando a demanda da empresa. Dessa forma, você deveria apresentar a solução passo a passo de como foi encontrado tal polinômio sem o uso de métodos computacionais.
Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o processo! Iniciaremos com os conceitos fundamentais de interpolação polinomial. Em seguida, trabalharemos com métodos de interpolação, especialmente o mais popular, que é o de Newton! 

conceito-chave

Anteriormente, exploramos os conceitos relativos a erros e encontrar soluções de $f\left(x\right)=0$ a partir de métodos iterativos. Agora, o nosso foco será encontrar um polinômio que aproxima a função $f\left(x\right)$, chamado de polinômio interpolador. Para começar nossos trabalhos neste tópico, vamos supor que que temos $\left(n + 1\right)$ pontos distintos $x_0, x_1, . . . , x_n$, que iremos chamar de “nós”, e que os pontos $y_0, y_1, . . . , y_n$ foram obtidos por meio de alguma função $f$ desconhecida, isto é, $y_i = f\left(x_i\right), i = \mathrm{0,} \mathrm{1,} . . . , n$. Queremos, então, conhecer ou estimar $f\left(x_r\right)$ para algum valor $x_r$ que não seja necessariamente tabelado. Um modo de fazer isso é interpolar f por uma função polinomial, uma vez que, em geral, temos conhecimento apenas dos pares de pontos $\left(x_i, f\left(x_i\right)\right)$ e não da expressão de f em si.
Inicialmente, então, vamos verificar a questão da existência do polinômio interpolador. Isto é, dados os $n + 1$ pontos $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right), \left(x_1, f\left(x_1\right)\right), . . . , \left(x_n, f\left(x_n\right)\right)$, onde $x_0, x_1, . . . , x_n$ são $\left(n + 1\right)$ pontos distintos. Nosso objetivo é encontrar uma função polinomial $p_n\left(x\right)$, de grau máximo $n$, que satisfaça:
$f\left(x_i\right)= p_n\left(x_i\right), i = \mathrm{0,} \mathrm{1,} . . . , n.$
Como $p_n\left(x\right)$ tem a forma
$p_n\left(x\right) = a_n{x}_n + a_{n-1}{x}_{n-1}+ · · · + a_{1}x +a_0,$
então $f\left(x_i\right)$ se transforma em:
$\left\{\begin{array}{c}{a}_n{x}_0^n+a_{n-1}{x}_0^{n-1}+\dots +a_1{x}_0=f\left(x_0\right)\\ \dots \\ a_n{x}_n^n+a_{n-1}{x}_n^{n-1}+\dots +a_1{x}_n=f\left(x_n\right)\end{array}\right.$
Com base nos conceitos de Álgebra Linear, podemos reescrever o sistema anterior em forma de matriz como:
$\left[\begin{array}{ccc}1& x_0& \begin{array}{cc}\dots & x_0^n\end{array}\\ \dots & \dots & \begin{array}{cc}\dots & \dots \end{array}\\ 1& x_n& \begin{array}{cc}\dots & x_n^n\end{array}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{a}_0\\ \dots \\ a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f\left(x_0\right)\\ \dots \\ f\left(x_n\right)\end{array}\right]$
Em que $A=\left[\begin{array}{ccc}1& x_0& \begin{array}{cc}\dots & x_0^n\end{array}\\ \dots & \dots & \begin{array}{cc}\dots & \dots \end{array}\\ 1& x_n& \begin{array}{cc}\dots & x_n^n\end{array}\end{array}\right]$ é a matriz, tal que $\det A\ne 0$, pois os pontos $x_0, x_1, . . . , x_n$ são distintos e A é necessariamente uma matriz de Vandermonde. Desse modo, o sistema linear em questão admite uma única solução $a_0, a_1, . . . , a_n$. Em outras palavras, existe apenas um polinômio $p_n\left(x\right) = a_n{x}_n + a_{n-1}{x}_{n-1} + · · · + a_{1}x + a_0$ de grau menor ou igual a $n$ que interpola a função $f$. Esse polinômio é chamado de polinômio interpolador.

Assim, podemos enunciar o seguinte resultado (ANDRADE, 2012):
Teorema: Dados $x_0, x_1, . . . , x_n$ pontos distintos, existe um único polinômio $p_n\left(x\right)$, de grau máximo $n$, que interpola $f$ nos pontos $\left(x_i, f\left(x_i\right)\right), i = \mathrm{0,} . . . , n$.
Existem diversos métodos para encontrar o polinômio interpolador, no entanto, nesta seção, iremos trabalhar com dois desses métodos: (i) o método de Lagrange e (ii) o método de Newton.
Iniciemos, então, com o método de Lagrange. Para esse método, vamos considerar dados $\left(n + 1\right)$ pontos distintos $x_0, x_1, . . . , x_n$ e $y_i = f\left(x_i\right), i = \mathrm{0,} \mathrm{1,} . . . , n$. Para cada $k = \mathrm{0,} \mathrm{1,} . . . , n$ seja:
$L_{k\left(x\right)}=\frac{\left(x - x_0\right)\left(x - x_1\right). . . \left(x - x_{k-1}\right)\left(x - x_{k+1}\right). . . \left(x - x_n\right)}{\left(x_k- x_0\right)\left(x_k- x_1\right). . . \left(x_k- x_{k-1}\right)\left(x_k- x_{k+1}\right). . . \left(x_k- x_n\right)}$
Ou resumidamente,
$L_k\left(x\right)={\prod }_{i=\mathrm{0,}i\ne k}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}, k=\mathrm{0,1,}\dots , n.$
É fácil notar que:

1. $L_k\left(x_k\right) = 1$,
2. $L_k\left(x_j\right)= \mathrm{0,} j\ne k$,
3. $L_k\left(x\right)$ é um polinômio de grau $n$.

Com isso, temos o seguinte resultado:
Teorema (Lagrange): Sejam $x_0, x_1, . . . , x_n$ pontos distintos  e $y_i = f\left(x_i\right)$, $i = \mathrm{0,} \mathrm{1,} . . . , n$ dados. Então, existe um polinômio $i = \mathrm{0,} \mathrm{1,} . . . , n$ de grau menor ou igual a $p_n\left(x\right)$ que interpola $f$ nesses pontos. Além disso, $p_n\left(x\right)$ é dado por:
$p_n\left(x\right) = y_0{L}_0\left(x\right) + y_1{L}_1\left(x\right) + · · · + y_n{L}_n\left(x\right),$
onde:
$L_k\left(x\right)={\prod }_{i=\mathrm{0,}i\ne k}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}, k=\mathrm{0,1,}\dots , n.$

E como estimamos o erro com base no método de Lagrange? Vamos considerar $\left(n + 1\right)$ nós distintos $x_0, x_1\mathrm{,.} . . , x_n$ no intervalo $\left[a, b\right]$ e $f:\left[a, b\right] \to ℝ$ de uma função. Então, para cada $x \in \left[a, b\right]$ existe ${\xi }_x\in \left(a, b\right)$, tal que:
$f\left(x\right)= p_n\left(x\right)+\frac{f^{\left(n+1\right)\left({\xi }_x\right)}}{\left(n + 1\right)!}\left(x - x_0\right)\left(x - x_1\right)· · · \left(x - x_n\right).$
Assim, o erro para o polinômio de Lagrange é dado pela diferença $\left|f\right(x)-p_n(x\left)\right|$.
Dessa forma, encerramos as questões teóricas do método de Lagrange. Mas, para encerrar o conteúdo do método de Lagrange, vamos escrever um código que pode ser utilizado no software Maple para encontrarmos o polinômio interpolador de Lagrange (ANDRADE, 2012).

> restart;
> interpoLa := proc(pts) local i, j, k, polin, gr1, gr2, ‘check arguments’;
> if type(pts, ‘list’) = false then
ERROR(‘o argumento deve ser uma lista de pontos do R^2’) fi;
> ‘check arguments’ := (pt) -> if type(pt, ‘list’) = false or nops(pt) <> 2 then
ERROR(‘o argumento não é um ponto do R^2’, pt) else pt fi;
> map(‘check arguments’, pts);
> polin := sort(expand(sum(product((x-pts[j][1])/(pts[i][1]-pts[j][1]), j = 1..i-1) * product((x-pts[k][1])/(pts[i][1]-pts[k][1]), k= i+1...nops(pts)) * pts[i][2], i =1..nops(pts))),x);
print(polin);	
> gr1 := plot(polin, x = 0..pts[nops(pts)][1];
> gr2 := plot(pts, style = point, symbol = circle, color = blue);
> plots[display]({gr1, gr2});
>end:
# Exemplo
interpoLa([[0,5], [1,3], [2,1], [3,3], [4,-3]])

Esse código transcreve exatamente o método de Lagrange aplicado no Exemplificando dado anteriormente. Mas note que o método de Lagrange ainda apresenta uma problemática grande quando adicionamos um ponto $\left(x_{n+1}, y_{n+1}\right)$ no sistema. Por quê? Note que ao usar esse método, adicionar um novo ponto implica que devemos recalcular todos os polinômios $L_k\left(x\right), i =\mathrm{0,} \mathrm{1,} . . . , n + 1$. Como resolver essa questão? Bem, trabalhamos com o método de Newton (ou método das diferenças divididas).
No método de Newton para o polinômio interpolador, ele é obtido a partir de uma construção recursiva utilizando um operador que chamamos de operador das diferenças divididas. Assim, para encontrar o polinômio interpolador $p_n\left(x\right)$ que interpola $f$ nos pontos $x_0, x_1, . . . , x_n$ pelo método de Newton, utilizamos (ANDRADE, 2012):
$f\left[x_0\right] = f\left(x_0\right), \left(ordem zero\right)$
$f\left[x_0, x_1\right]=\frac{f\left[x_1\right]- f\left[x_0\right]}{x_1– x_0}=\frac{f\left(x_1\right)- f\left(x_0\right)}{x_1– x_0}, \left(ordem 1\right)$
$f\left[x_0, x_1, x_2\right]=\frac{f\left[x_1, x_2\right]- f\left[x_0, x_1\right]}{x_2- x_0}, \left(ordem 2\right)$
$f\left[x_0, x_1, x_2, x_3\right]=\frac{f\left[x_1, x_2, x_3\right]- f\left[x_0, x_1, x_2\right]}{x_3- x_0}, \left(ordem 3\right)$
$f\left[x_0, x_1, x_2, x_3, \dots , x_n\right]=\frac{f\left[x_1, x_2, x_3, \dots , x_n\right]- f\left[x_0, x_1, x_2, \dots , x_{n-1}\right]}{x_n- x_0}, \left(ordem n\right)$
Chamamos $f\left[x_0, x_1, x_2, . . . , x_k\right]$ de diferença dividida de ordem $k$ entre os $k + 1$ pontos $x_0, x_1, x_2, . . . , x_k$. Um ponto importante que podemos destacar é que as diferenças divididas $f\left[x_0, x_1, x_2, . . . , x_k\right]$ são funções simétricas nos seus argumentos (ANDRADE, 2012). Com base nesse operador, podemos construir a seguinte tabela de diferenças divididas para o método de Newton:

Ou, no caso geral,

Bom, agora que sabemos como funciona o operador de diferenças divididas, vamos trabalhar com a construção do polinômio $p_n\left(x\right)$ que interpola $f\left(x\right)$ nos pontos $x_0, x_1, x_2, . . . , x_n$ segundo o método de Newton. Começando com o polinômio que interpola $f\left(x\right)$ em $x = x_0$ e assim sucessivamente, construiremos $p_k\left(x\right)$, que interpola $f\left(x\right)$ em $x_0, x_1, x_2, . . . , x_k, k=\mathrm{1,} \dots , n$. Assim, seja então $p_0\left(x\right)$ o polinômio de grau zero, que interpola $f\left(x\right)$em $x = x_0$, tal que $p_0\left(x\right) = f\left[x_0\right]$. Nesse caso, para $x\ne x_0$ e $x \in \left[a, b\right]$, temos que:
$f\left[x_0, x\right]=\frac{f\left[x\right]- f\left[x_0\right]}{x – x_0}=\frac{f\left(x\right)- f\left(x_0\right)}{x – x_0},$
tal que:
$f\left(x\right)= f\left(x_0\right)+ \left(x – x_0\right)f\left[x_0, x\right],$
onde $p_0\left(x\right)=f\left(x_0\right)$. Então, chamaremos $E_0\left(x\right)=f\left(x\right)-p_0\left(x\right)$ de erro ao se aproximar $f\left(x\right)$ por $p_0\left(x\right)$. Agora, seja $p_1\left(x\right)$ o polinômio de grau menor do que 1 que interpola $f\left(x\right)$ em $x_0$ e $x_1$. Temos que:
$f\left[x_0, x_1,x\right]=\frac{f\left[x,x_0\right]- f\left[x_1, x_0\right]}{x – x_1}=\frac{f\left(x\right)- f\left(x_0\right)-\left(x-x_0\right)f\left[x_1,x_0\right]}{\left(x-x_0\right)\left(x – x_1\right)},$
tal que:
$f\left(x\right)= f\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right)f\left[x_1,x_0\right]+ \left(x – x_0\right)\left(x-x_1\right)f\left[x_0,x_1 x\right],$
onde $p_1\left(x\right)= f\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right)f\left[x_1,x_0\right]$. Então, chamaremos $E_1\left(x\right)=f\left(x\right)-p_1\left(x\right)$ de erro cometido ao se aproximar $f\left(x\right)$ por $p_1\left(x\right)$. De modo geral, repetindo o procedimento anterior $n$ vezes, obtemos:
$f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\dots +\left(x-x_0\right)\dots \left(x-x_{n-1}\right)f\left[x_0,\dots , x_n\right]+\left(x-x_0\right)\dots \left(x-x_n\right)f\left[x_0,\dots ,x_n, x\right]$, onde $p_n\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right)f\left[x_0,x_1\right]+\dots +\left(x-x_0\right)\dots \left(x-x_{n-1}\right)f\left[x_0,\dots , x_n\right]$ e $E_n\left(x\right)=\left(x-x_0\right)\dots \left(x-x_n\right)f\left[x_0,\dots ,x_n, x\right]$ são o erro cometido ao se aproximar $f\left(x\right)$ por $p_n\left(x\right)$. 

Por fim, é válido ressaltar que os erros de interpolação são fundamentais, especialmente quando trabalhamos com modelagem. Em qualquer trabalho que envolva aproximação numérica, sempre estamos buscando pelo menor erro possível e a magnitude desse erro nos traz a versatilidade do nosso modelo. Pensando nesse aspecto, em métodos numéricos, existe um conceito chamado fenômeno Runge que consiste em dizer que o erro é menor na zona central do intervalo e maior nos extremos. Para evitar esse fenômeno, podemos considerar pontos não igualmente espaçados juntamente com polinômios ortonormais, splines ou aproximação por mínimos quadrados.
Com isso, finalizamos a nossa seção sobre polinômio interpolador, que é um dos objetos fundamentais quando trabalhamos aproximações numéricas.

Faça valer a pena

Referências

ANDRADE, D. Cálculo numérico. In: NOTAS de aula. [S. l.], 2012.
FERNANDES, D. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2015.
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2006.
LOPES, Á. P.; COSTA, M. J. S. Comparação entre métodos de aproximação numérica utilizando o programa MATLAB. Revista Margens Interdisciplinar, v. 11, n. 17, p. 14, 2018. Disponível em: https://periodicos.ufpa.br/index.php/revistamargens/article/view/5447. Acesso em: 23 jun. 2021.
VALLE, M. E. MS211 - Cálculo Numérico Aula 15 – Interpolação Polinomial. [s. d.]. Campinas: Unicamp. Disponível em: https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula15.pdf. Acesso em: 26 mar. 2021.