Sistemas lineares

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Praticar para aprender

Caro aluno, nesta seção, entenderemos o conceito de sistemas lineares por meio de exemplos práticos e de definições dadas pela matemática em si. Com isso, você compreenderá a importância do papel dos sistemas lineares e como eles podem ser utilizados em situações do dia a dia.
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar o balanceamento de equações químicas, muito comuns em aplicações de engenharia química. Balancear uma equação pode nos dizer muitas coisas sobre o comportamento de uma molécula em determinada reação, e os sistemas lineares são fundamentais para trabalharmos com esse conceito, por permitirem calcular com precisão a quantidade de átomos necessários para que se tenha um equilíbrio químico na reação.
Caro aluno, criaremos uma situação hipotética para exemplificar o uso de sistemas lineares no dia a dia de trabalho, especialmente em áreas relacionadas à engenharia.
Em engenharia elétrica, uma das aplicações mais comuns de sistemas lineares é a que envolve circuitos elétricos. Suponha que você tenha sido contratado para identificar os valores da corrente elétrica em um circuito elétrico composto por quatro ciclos fechados, no qual as correntes são denotadas como I₁, I₂, I₃, I₄, e as direções atribuídas a cada uma dessas correntes são arbitrárias, isto é, se uma corrente tem valor negativo para sua intensidade, então sua direção real é inversa à direção estipulada na situação considerada. Lembrando-se de que o fluxo de corrente num ciclo é governado pelas leis de Kirchhoff (a soma algébrica das quedas de voltagem em torno do ciclo é igual à soma algébrica das fontes de voltagem na mesma direção desse ciclo), foi obtido o seguinte sistema linear para o problema:
$\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}\text{ ; }p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0\}$
No relatório que você deve escrever, há as seguintes perguntas: quais são os valores das correntes elétricas nessa situação, de acordo com o sistema de equações obtido? Quais são as direções dessas correntes? Para responder a essas questões, sugere-se trabalhar com a forma linha-reduzida do sistema linear em questão. Além disso, para entregar o relatório completo com suas observações, foi-lhe solicitada a indicação dos campos: nome da empresa, problema, solução, custo e assinatura.
Que tal começar esse entendimento agora? Você será acompanhado em todo o processo. Iniciaremos com os conceitos fundamentais de sistemas lineares e suas aplicações em engenharia química; em seguida, trabalharemos com métodos de soluções desses sistemas, especialmente em forma de matrizes.

conceito-chave

Anteriormente, exploramos o conceito de matrizes e suas principais características. Será que é somente esse tipo de estrutura que encontramos no nosso dia a dia? Para responder a essa questão, consideraremos a situação em que você deseja, por exemplo, saber quantas moléculas de hidrogênio (H₂) e de oxigênio (O₂) são necessárias para formar a água (H₂O). Podemos escrever essa relação como:
$x{H}_2+y{O}_2\to z{H}_{2}O$
Como encontramos os valores de x, y e z que satisfazem essa relação? Como os átomos não são modificados, o número de cada elemento no início da reação deve ser igual ao número de átomos no fim da reação. Assim, podemos escrever o seguinte sistema de equações:
$\{\begin{array}{c}2x=2z\\ 2y=z\end{array}$
Se conseguir resolver o sistema apresentado, temos o número de moléculas necessárias para satisfazer a reação e, assim, entender um pouco sobre reações químicas na natureza. Essa estrutura aqui introduzida é chamada de sistema linear de equações e será nosso objeto de estudo desta unidade.

Os sistemas lineares são utilizados em muitas situações, por exemplo, tráfego de veículos, balanceamento de equações químicas, funções polinomiais, ruído acústico, sistemas GPS, mecanismos de busca (como o Google), entre muitas outras. Nosso foco será, em especial, as aplicações voltadas para a engenharia.

Para responder à questão do nosso exemplo, introduziremos um novo conceito: matriz ampliada de um sistema linear. Considere o sistema linear em sua forma geral:
$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$
Esse sistema pode ser reescrito em forma de matriz como:
$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ \dots \\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ \dots \\ b_n\end{array}\right]$
Em que $A= \left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$ é a matriz dos coeficientes, $X= \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ \dots \\ x_n\end{array}\right]$ é a matriz das incógnitas e $B= \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ \dots \\ b_n\end{array}\right]$ é a matriz dos termos independentes. No entanto, essa não é a única forma matricial do sistema, podemos também considerar a matriz:
$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & \begin{array}{cc}{a}_{1n}& b_1\end{array}\\ \dots & \dots & \begin{array}{cc}\dots & \dots \end{array}\\ a_{m1}& \dots & \begin{array}{cc}{a}_{mn}& b_m\end{array}\end{array}\right]$
Essa matriz é chamada de matriz ampliada do sistema. Nela, cada linha é apenas uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. Voltando ao nosso exemplo, podemos reescrever o sistema da combustão de gasolina em forma matricial como:
$[\begin{array}{ccc}8& 0& -1\\ 18& 0& 0\\ 0& 2& -2\end{array} \begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array} \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}]$
Qual é o próximo passo? Para prosseguir, necessitamos de um outro conceito, o qual chamamos de operações elementares. Elas são operações que realizamos na matriz ampliada do sistema, a fim de obter uma matriz equivalente, que nos trará a solução, caso exista, do sistema. São três tipos de operações que podemos considerar:
1.  Permuta da i-ésima e j-ésima linha (L_i↔L_j).
2.  Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (L_i→kL_i).
3.  Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha somado k vezes a j-ésima linha (L_i→L_i+kL_j).
Voltando ao nosso exemplo, a primeira operação elementar que faremos é: $L_2\to -\frac{9}{4}{L}_1+L_2$, isto é,
$[\begin{array}{ccc}8& 0& -1\\ 18& 0& 0\\ 0& 2& -2\end{array} \begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array} \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}]\stackrel{L_2\to - \frac{9}{4}{L}_1+L_2}{\to }[\begin{array}{ccc}8& 0& -1\\ 0& 0& 9/4\\ 0& 2& -2\end{array} \begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array} \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}]$
E qual é a próxima operação? Agora, permutaremos a  com a , isto é,
$[\begin{array}{ccc}8& 0& -1\\ 0& 0& 9/4\\ 0& 2& -2\end{array} \begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array} \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}]\stackrel{L_2\leftrightarrow L_3}{\to }[\begin{array}{ccc}8& 0& -1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 9/4\end{array} \begin{array}{c}0\\ -1\\ -2\end{array} \begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}]$
Veja que agora nossa matriz equivalente tem um aspecto mais simples para obtermos a solução do sistema. Assim, podemos retornar para as equações do sistema, reescrevendo-o de acordo com a matriz equivalente. Portanto,
$\{\begin{array}{c}8x-w=0\\ 2y-2w-z=0\\ \frac{9}{4}w-2z=0\end{array}$
Observe que temos três equações para quatro variáveis. Neste caso, dizemos que o sistema é possível (visto que nenhuma linha é do tipo, por exemplo, 2 = 0) e indeterminado, ou seja, admite infinitas soluções, já que temos uma variável livre. Seja w essa variável livre, logo, temos que:
$\frac{9}{4}w-2z=0\to z=\frac{9}{8}w$
$2y-2w-z=0\to 2y=2w+\frac{9}{8}w\to y=\frac{25}{16}w$
$8x-w=0\to x=\frac{1}{8}w$
Assim, o conjunto solução do sistema é descrito por $K=\{(\frac{1}{8}w,\frac{25}{16}w,\frac{9}{8}w, w), w\in ℝ\}$. Portanto, o nosso balanceamento da equação de combustão de gasolina pode ser escrito como:
$x{C}_8{H}_{18}+y{O}_2\to wC{O}_2+z{H}_{2}O$
$\frac{1}{8}w{C}_8{H}_{18}+\frac{25}{16}w{O}_2\to wC{O}_2+\frac{9}{8}w{H}_{2}O$
Se considerarmos , obtemos que uma forma para a combustão de gasolina é dada pela equação:
$\frac{1}{8}{C}_8{H}_{18}+\frac{25}{16}{O}_2\to C{O}_2+\frac{9}{8}{H}_{2}O$
Viu como é importante o conceito de sistemas lineares na prática? Embora consideremos um exemplo relacionado à engenharia química, podemos usar a metodologia para outras áreas também.

No nosso exemplo, consideramos o conceito de possível e indeterminado em relação à solução do sistema. No entanto, é somente esse conceito que temos em relação a isso? A resposta é não! Um sistema linear pode ser classificado de três formas:
1.  Possível e determinado (SPD): quando não há variáveis livres e todos os valores das variáveis considerados podem ser encontrados (observação: a solução (0, 0, ..., 0) é chamada de solução trivial do sistema e será excluída dessa classificação).
2.  Possível e indeterminado (SPI): quando o número de equações é menor que o número de variáveis, obtendo-se, assim, uma variável livre, a qual gerará infinitas soluções para o sistema.
3.  Impossível (SI): quando não há variáveis livres e não é possível determinar uma solução do sistema em questão.
Neste aspecto, trabalhamos com um novo conceito, que é o de matriz linha-reduzida à forma escada. Tal conceito pode ser definido como: 
Definição: uma matriz mxn é linha-reduzida à forma escada se:
•  O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é igual a 1.
•  Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
•  Toda linha nula está sempre abaixo de todas as linhas não nulas.
•  Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas e se o primeiro elemento não nulo da linha i está na coluna k_i, então k₁<k₂<...k_r.
Essa definição descreve o que chamamos de escalonamento de uma matriz. Em sistemas lineares, tal escalonamento é útil para definir a solução do mesmo de acordo com a classificação anterior. Um outro conceito que nos auxilia nisso é o conceito de posto e nulidade da matriz reduzida (ou equivalente) do sistema. Tal conceito pode ser definido como:

Assim, podemos reescrever a classificação dos sistemas lineares de acordo com o tipo de solução da seguinte forma:
•  Possível e determinado (SPD): quando o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. Ele terá solução única se n=p.
•  Possível e indeterminado (SPI): quando o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. Ele terá infinitas soluções se p<n.
•  Impossível (SI): quando o posto da matriz ampliada é diferente do posto da matriz dos coeficientes.
Com isso, encerramos a primeira parte desta seção que lida com os sistemas lineares. Agora, vamos à segunda parte, que é referente às matrizes inversas.
Para trabalhar com inversão de matrizes, lidaremos necessariamente com as operações elementares e a forma matriz-linha reduzida à forma escada. Neste aspecto, dizemos que uma matriz A é invertível se sua matriz-linha reduzida à forma escada é a matriz identidade. Além disso, sendo A^-1 a inversa de A, o produto A . A^-1 resulta na matriz identidade. Veremos como esse procedimento funciona na prática. Como exemplo, considere a matriz A dada por:
$A=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 1& 0& -1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ -1& 0& 0& 3\end{array}\right]$
Para começar o processo de inversão da matriz A, colocamos a matriz identidade junto à matriz A e aplicamos as operações elementares com as linhas, a fim de reduzir a parte esquerda (que corresponde a A) à forma escada da linha reduzida. Além disso, as operações devem ser feitas simultaneamente na parte direita. Isto é,
$\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 0& \begin{array}{cccc}0|& 1& 0& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\end{array}\\ 1& 0& -1& \begin{array}{cccc}1|& 0& 1& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\end{array}\\ 0& 1& 1& \begin{array}{cccc}1|& 0& 0& \begin{array}{cc}1& 0\end{array}\end{array}\\ -1& 0& 0& \begin{array}{cccc}3|& 0& 0& \begin{array}{cc}0& 1\end{array}\end{array}\end{array}\right]$
A primeira operação elementar que faremos é trocar a primeira linha com a segunda linha, isto é, L₁↔L₂:
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& \begin{array}{cccc}1|& 0& 1& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\end{array}\\ 2& 1& 0& \begin{array}{cccc}0|& 1& 0& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\end{array}\\ 0& 1& 1& \begin{array}{cccc}1|& 0& 0& \begin{array}{cc}1& 0\end{array}\end{array}\\ -1& 0& 0& \begin{array}{cccc}3|& 0& 0& \begin{array}{cc}0& 1\end{array}\end{array}\end{array}\right]$
A segunda operação que faremos é somar a quarta linha e a segunda linha, a primeira linha multiplicada por -2, isto é, $L_4=L_4-2L_1;L_2=L_2-2L_1$:
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& \begin{array}{cccc}1|& 0& 1& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\end{array}\\ 0& 1& 2& \begin{array}{cccc}-2|& 1& -2& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\end{array}\\ 0& 1& 1& \begin{array}{cccc}1|& 0& 0& \begin{array}{cc}1& 0\end{array}\end{array}\\ 0& 0& -1& \begin{array}{cccc}4|& 0& 1& \begin{array}{cc}0& 1\end{array}\end{array}\end{array}\right]$
Como terceira operação, faremos a subtração da segunda linha da terceira linha, isto é, $L_3=L_2-L_3$:
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& \begin{array}{cccc}1|& 0& 1& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\end{array}\\ 0& 1& 2& \begin{array}{cccc}-2|& 1& -2& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\end{array}\\ 0& 0& -1& \begin{array}{cccc}3|& -1& 2& \begin{array}{cc}1& 0\end{array}\end{array}\\ 0& 0& -1& \begin{array}{cccc}4|& 0& 1& \begin{array}{cc}0& 1\end{array}\end{array}\end{array}\right]$
Em seguida, trocaremos o sinal da terceira linha, isto é, $L_3=(-1)L_3$ e, em seguida, anularemos o que falta na terceira coluna, isto é,
$\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& -2|& 1& -1& -1& 0\\ 0& 1& 0& 4|& -1& 2& -2& 0\\ 0& 0& 1& -3|& 1& -2& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1|& 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$
Por fim, obtemos a identidade à esquerda e a inversa de A à direita, isto é,
$\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0|& 3& -3& -3& 2\\ 0& 1& 0& 0|& -5& 6& 2& -4\\ 0& 0& 1& 0|& 4& -5& -4& 3\\ 0& 0& 0& 1|& 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$
Portanto,
$A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}3& -3& -3& 2\\ -5& 6& 2& -4\\ 4& -5& -4& 3\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$
Como exercício, você pode verificar se, de fato, a matriz encontrada é a matriz inversa da matriz A por meio do produto$A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}3& -3& -3& 2\\ -5& 6& 2& -4\\ 4& -5& -4& 3\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$ , em que I₄ é a matriz identidade de ordem 4. Com isso, encerramos esta seção sobre sistemas lineares e suas aplicações no cotidiano e o procedimento para inversão de matrizes.

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Referências

BONAT, W. H. Sistemas de Equações Lineares. Curitiba, PR: UFPR, [s.d.]. Disponível em: https://bit.ly/3gouSbs. Acesso em: 15 fev. 2021.
FERNANDES, D. B. Álgebra Linear. São Paulo: Pearson, 2014.
FERNANDES, L. F. D. Álgebra Linear. Curitiba: Intersaberes, 2017.
FRANCO, N. Álgebra Linear. São Paulo: Pearson , 2016.
RINCON, M.; FAMPA, M. Álgebra linear. Aula 13: método de eliminação de Gauss. Rio de Janeiro, RJ: CEDERJ, [s.d.]. Disponível em: https://bit.ly/3835pjr. Acesso em: 4 abr. 2021.