Medidas de tendência central e de dispersão

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Praticar para aprender

Caro aluno, nesta seção iremos entender o conceito das medidas de tendência central ou posição e também as medidas de dispersão. Tais medidas são fundamentais para você compreender a importância delas nos trabalhos científicos e no dia a dia de sua profissão.
Como exemplo dessa abordagem, podemos considerar uma experimentação de tratamento de poluição hídrica em lago de uma determinada comunidade em que a pesca é o principal recurso de sobrevivência das pessoas daquela região. Como um dos objetivos, você precisa calcular, por exemplo, a concentração média de um determinado composto para fazer o tratamento da água desse lago e também trabalhar com a dispersão dos poluentes nesse lago. Percebe o quanto essas medidas nos trazem informações importantes? 
Atualmente, com o crescimento do uso de ferramentas estatísticas, matemáticas e computacionais em análise de dados, nenhuma empresa quer ficar para trás. Nesse aspecto, suponha que você foi contratado por uma empresa para avaliar as concentrações de pH de um determinado rio em que se cria peixes para pesquisa. O valor do pH é uma medida do grau de acidez ou alcalinidade da água, sendo 7 o valor neutro do pH. Sabe-se que em certos ecossistemas, como o de peixes, valores de pH muito baixos ou muito altos podem ser letais para a grande maioria das espécies. Então, a empresa deseja que isso não aconteça com sua criação de peixes. Logo, uma amostragem de valores de pH de dois anos foi realizada nessa empresa com a finalidade de trazer algumas informações sobre tais concentrações, como média, variância, máximo e mínimo, para se ter um devido controle da produção de peixes. Os dados amostrados são:

Como você faria o cálculo da média, da variância, do máximo e do mínimo em cada ano? Como apresentaria tais resultados para empresa?
Vamos então começar o entendimento dessas medidas? Você será acompanhado em todo o processo! Iniciaremos com as medidas de tendência central, como média, mediana e moda, e depois passaremos para as medidas de dispersão, como variância, desvio-padrão e coeficiente de variação. 

conceito-chave

Em situações práticas, no geral, descrevemos os dados por quantidades, denominadas medidas resumo, que resumem todos os dados do conjunto bruto de dados. Por exemplo, em uma fazenda podemos estar interessados em um valor que descreve o mais típico tipo de árvore; ou o número de árvores presente em 25% da fazenda. Tais medidas são denominadas medidas de tendência central (de posição).
No geral, as medidas de tendência central podem ser definidas como “valor numérico central de uma distribuição de valores” (MAGALHÃES, 2002). Dentre essas medidas, as mais importantes são: média aritmética, mediana, moda e percentis. Antes de prosseguir com as medidas de posição, dois conceitos devem estar bem definidos: população e amostra. Tais conceitos já vimos na seção anterior, mas vamos retomá-los aqui. 
População: uma população pode ser definida como um grupo de indivíduos que possuem característica(s) em comum.
Amostra: uma amostra é, basicamente, um “pedaço” da população da qual temos por objetivo estudar para inferir resultados sobre a população. Naturalmente, há diversas formas de selecionar uma amostra, porém, em muitos casos, depende exclusivamente dos recursos disponíveis para a coleta dos dados.

Bom, vamos então dar início ao nosso conteúdo. Iniciaremos com a primeira medida de posição: a média aritmética. Tal medida é a de posição mais popular que temos e trabalhamos em muitos estudos. Ela pode ser calculada em duas situações: amostra e população.
Média populacional: a média populacional é simplesmente calculada somando-se todos os valores obtidos para população e dividindo o resultado pelo total de elementos da população (MAGALHÃES, 2002). Em outras palavras, a média populacional é dada por:
$\mu =\frac{x_1+ \dots + x_N}{N}$
em que N é o tamanho da população e $x_i, i = \mathrm{1,} \dots , n$ são os elementos da população. É importante destacar que média populacional é sempre denotada por uma letra grega (no caso, $\mu$) a qual representa um parâmetro em estatística.
Média amostral: diferente da média populacional, a média amostral trabalha exclusivamente com elementos da amostra (MAGALHÃES, 2002). Nesses termos, a média amostral é dada por:
$\overline{x}=\frac{x_1+ \dots + x_n}{n}$
em que $n$ é o tamanho da amostra e $x_i, i = \mathrm{1,} \dots , n$ são as observações da amostra. É importante destacar que a média amostral, diferente da populacional, é sempre denotada por uma letra minúscula do alfabeto tradicional (no caso, $x$).

Em termos de simplificação de notação, iremos fazer o uso da notação ${\sum }_i^n{x}_i$ para denotar a soma das n observações da amostra ou população. Nesse caso, a média amostral pode ser reescrita como:
$\overline{x}=\frac{{\sum }_i^n{x}_i}{n}$
Algumas observações importantes sobre a média:

1. A média existe para qualquer conjunto de dados de natureza numérica.
2. A média é sempre única.
3. A média é útil para outras avaliações estatísticas, como a média global de um conjunto de dados.
4. A média é sensível a pontos extremos, isto é, os pontos extremos de uma amostra interferem na representatividade da média para aquela amostra.
5. A média leva em conta todos os dados.

Em algumas situações práticas, os dados podem ser apresentados em tabelas de frequências por ponto ou classes. Nesse caso, a média tradicional não pode ser diretamente calculada, uma vez que os dados estão agrupados ou possuem pesos diferentes. Assim, fazemos uma modificação para o cálculo da média, que passa a ser chamada de média ponderada.

Com isso, encerramos as duas formas de se calcular a média de um conjunto de dados. Mas você se lembra de que a média é uma medida sensível? Então, nesse caso, precisamos de outra medida que não seja sensível a pontos extremos. Tal medida é conhecida como mediana. 
Mediana: é definida como a observação central se o número de elementos na amostra for ímpar, e será a média aritmética dos dois elementos centrais caso o número de observações na amostra seja par. Denotamos mediana de uma amostra $x_1, \dots , x_n$ por  $\tilde{x}$.

Certo, vimos como a mediana funciona. Mas será que existe outra medida de posição que se faz importante? Sim, a moda. Essa medida desempenha um papel fundamental em estudos ambientais quando o intuito, por exemplo, é saber qual espécie de árvore é mais frequente em uma determinada região; a raça mais abundante de peixe em uma represa; predador mais comum em determinados ecossistemas; entre outras aplicações.
Moda: é a medida representada pelo valor na amostra que ocorre com maior frequência. A moda não é única, uma vez que podemos ter empate de frequências. A rigor de notação, denotamos moda por $x_m$.
Para complementar uma boa análise das estatísticas descritivas de uma amostra, além das medidas de posição citadas anteriormente, necessitamos de mais algumas medidas de posição que se fazem importantes: máximo, mínimo e quartil. Essas medidas são fundamentais para algumas técnicas gráficas como o boxplot.
Máximo e mínimo: o mínimo é definido como sendo a menor observação da amostra; já o máximo é definido como sendo a maior observação da amostra.
Quartil: medida que divide o conjunto de dados em basicamente quatro partes iguais, com os dados em ordem crescente. O primeiro quartil, Q1, representa 25% das observações; Q2 representa a mediana que corresponde a 50% das observações; e Q3, representa 75% das observações do banco de dados.
Assim, encerramos nosso conteúdo sobre medidas de posição. Agora, vamos a um pequeno exemplo: considere que uma indústria A tem três tipos de maquinários com o número de falhas dessas máquinas descritos por 72, 76 e 74, enquanto uma indústria B tem os mesmos três tipos de máquinas com o número de falhas de cada máquina dado por 72, 91 e 59. Note que o número médio de falhas de cada máquina de cada indústria é o mesmo, 74, mas observe a diferença de variabilidade. Isto é, enquanto a indústria A tem uma quantidade de falhas equivalente para cada máquina, na indústria B há uma falha muito maior na segunda máquina. Perceba que, nesse caso, a medida de posição “média” é insuficiente para descrever, por exemplo, a homogeneidade das falhas das máquinas. Nesse caso, devemos trabalhar com o que chamamos de medidas de dispersão, que têm por objetivo medir a variação ou dispersão do nosso conjunto de dados. 
A primeira medida que vamos trabalhar é a amplitude. Tal medida é usada, preferencialmente, no controle de qualidade industrial para manter o controle imediato de matérias-primas e produtos. Há dois tipos de amplitudes: geral (abrange todos os valores da amostra) e interquartil (abrange mais ou menos 50% dos dados centrais).
Amplitude geral: dado o conjunto de dados ordenado: $X_{\left(1\right)}\le X_{\left(2\right)}\le \dots \le X_{\left(n\right)}$, a amplitude geral R dos dados é dada por: $R=X_{\left(n\right)}-X_{\left(1\right)}$.
Amplitude interquartil: a amplitude interquartil $R_Q$ dos dados é dada por: $R=Q_3-Q_1$.
A amplitude geral não é uma medida muito útil da variação dos dados, uma vez que ela não nos diz coisa alguma sobre a dispersão dos valores entre os dois extremos. Considere os três conjuntos de concentração de um determinado efluente a seguir:
  Conjunto A: 5, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18
  Conjunto B: 5, 5, 5, 5, 5, 18, 18, 18, 18, 18
  Conjunto C: 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 18
Note que a amplitude de cada um dos conjuntos é a mesma e igual a 13, mas suas dispersões entre o primeiro e o último valor são totalmente diferentes. Assim, necessitamos de uma nova medida para lidar com esses dados, que é a variância.
A segunda medida de dispersão que vamos trabalhar é a variância. Essa medida trabalha com a dispersão dos dados ao redor da média e pode ser calculada tanto para a população quanto para a amostra. Isto é:
Variância populacional: dada uma população $x_1\mathrm{,...,}{x}_N$ de N elementos, a variância, nesse caso, é dada por (MAGALHÃES, 2002):
${\sigma }^2 ={\sum }_{i = 1}^n\frac{{\left(x_i-\mu \right)}^2}{N}$
Variância amostral: dada uma amostra $x_1,\dots ,x_n$ de $n$ elementos, a variância, nesse caso, é dada por (MAGALHÃES, 2002):
$s^2 ={\sum }_{i = 1}^n\frac{{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{n-1}$

Depois da variância, uma outra medida de dispersão de suma importância é o desvio-padrão que trabalha o “erro” de estimação. Nesse caso, temos que:
Desvio-padrão populacional: é uma medida de dispersão dada pela equação:
$\sigma =\sqrt{{\sum }_{i = 1}^n\frac{{\left(x_i-\mu \right)}^2}{N}}$
Desvio-padrão amostral: é uma medida de dispersão dada pela equação:
$s =\sqrt{{\sum }_{i = 1}^n\frac{{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{n-1}}$
De acordo com a definição de desvio-padrão, observamos que a dispersão de um conjunto de dados se baseia nas disposições dos dados em torno da média, isto é, quanto mais “afastados” da média, mais disperso é o conjunto de dados. Esse conceito nos leva ao último conceito de nossa seção: o Teorema de Tchebichev e o coeficiente de variação.
Teorema de Tchebichev: Em qualquer conjunto de dados, dado uma constante $k > 1$, a proporção dos dados que devem estar a menos de $k$ desvios-padrão de qualquer um dos lados da média é pelo menos $1 -\frac{1}{k^2}$ (MAGALHÃES, 2002).
Para finalizar, podemos definir o coeficiente de variação, que é uma das medidas utilizadas quando nosso interesse é analisar a dispersão em termos relativos a seu valor médio, mas sem levar em conta a influência da ordem de grandeza da variável. Tal medida é definida como:
$CV=\frac{s}{\overline{x}}$
É importante salientar que o coeficiente de variação está entre 0 e 1, mas pode ser escrito também em porcentagem, multiplicando-se o valor do CV por 100. E com isso encerramos nossa seção sobre medidas de dispersão e tendência central. Deixo também como encerramento a questão: onde podemos utilizar o Teorema de Tchebichev?

Faça valer a pena

Referências

MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. Noções de probabilidade e estatística. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2002.
MASIERO, P. C. Introdução à análise de dados ESE. In: Notas de aula, 2017. Disponível em: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3371051/mod_resource/content/1/Aula_5_Analise_Dados_ESExp_2017.pdf. Acesso em: 12 abr. 2021.
NETO, P. L. O. C. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006.
THE R Project for Statistical Computing. Disponível em: https://www.r-project.org. Acesso em: 12 abr. 2021.
VIRGILITO, S. B. Estatística Aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017.