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sem medo de errar
Nosso problema aqui é implementar o método do ponto fixo utilizando o software Maple. Note que uma implementação computacional pode ser feita de várias formas diferentes e ainda assim gerar o mesmo resultado. O que vai mudar entre uma e outra é somente a eficiência e visualização do algoritmo. Então, como sugestão dessa implementação, podemos fazer:
metodoptofixo:=proc(g::procedure, x0, epsilon) local x, ErrAbs, tol, ErrRel, k;
x[0]:=x0;
ErrAbs:=1;
tol:=0;
for k from 0 while ErrAbs>=tol do
x[k+1]:=evalf(g(x[k]));
ErrAbs:=evalf(abs(x[k+1]-x[k]));
ErrRel:=evalf(ErrAbs/abs(x[k+1])):
tol:=evalf(epsilon*abs(x[k+1]));
printf("x[%d] = %10.6e | erro relativo= %10.6e\n",k+1,x[k+1],ErrRel);
od;
end:
Assim, utilizando o código acima, encontramos que o valor de x que maximiza o lucro da empresa é x = 0.158593439, que implica então que o lucro da empresa, em bilhões de reais, é de 0.1585942.
Avançando na prática
Valor máximo da concentração de um dado poluente
Suponha que uma certa área fluvial foi contaminada por uma empresa local com um determinado agente tóxico. Sabendo que a concentração desse agente tóxico varia de acordo com a função:
Seu supervisor pediu para que você encontre o valor de x no intervalo de concentração [0,1], tal que a concentração do agente tóxico seria necessariamente igual a zero, assumindo uma precisão de 0,001. O “x”, nesse caso, seria a concentração do tratamento utilizado para a remoção total do poluente nessa área fluvial.
Perceba que, dado a complexidade da função, o uso de métodos numéricos é fundamental. Assim, para encontrar o valor de x que corresponde à concentração do tratamento, podemos utilizar o método de Newton-Rhapson, por exemplo. Esse método é baseado nos passos:
Dado , vamos escrever , tal que seja uma aproximação inicial e tolerância. Então:
- Se faça e pare.
- .
- .
- Se ou faça e pare.
- .
- e volte ao passo 3.
Logo, considerando como aproximação inicial o valor e realizando os passos do método, temos:
| k | ||||
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0,9 | 0,026837 | -5,592911 | - |
| 1 | 0,904798 | -0,000057 | -5,616636 | 0,004798 |
| 2 | 0,904788 | 0 | -5,616586 | 0,000010 |
Isto é, para remover totalmente o poluente no intervalo de concentração [0,1] com uma precisão de 0,001, precisamos de aproximadamente uma concentração de 0,904788217 do tratamento.